考虑以下方程组，它已经处于行阶梯形：
\[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 + x_4 - 3x_5 = 0 \\ \phantom{x_1 + 2x_2} x_3 - 2x_5 = 0 \\ \phantom{x_1 + 2x_2 + x_3} x_4 - x_5 = 0 \end{cases} \]相应的行阶梯形增广矩阵为：
\[ \left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right] \]主元列是第 1、3、4 列。因此：
用自由变量表示基本变量：
代入 \( x_3 = 2x_5 \) 和 \( x_4 = x_5 \)：
\[ x_1 = -2x_2 + 2x_5 - x_5 + 3x_5 = -2x_2 + 4x_5 \]因此通解为：
\[ \begin{aligned} x_1 &= -2x_2 + 4x_5 \\ x_3 &= 2x_5 \\ x_4 &= x_5 \end{aligned} \qquad \text{其中 } x_2, x_5 \in \mathbb{R}. \]自由变量 \( x_2 \) 和 \( x_5 \) 可以取任意实数值——因此得名。这种参数形式明确描述了整个解集。
对于以下每个行阶梯形增广矩阵，确定哪些变量是基本变量，哪些是自由变量。假设变量依次为 \( x_1, x_2, \ldots \)。
矩阵 1：
\[ \left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 4 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]矩阵 2：
\[ \left[ \begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right] \]矩阵 3：
\[ \left[ \begin{array}{ccccc|c} 1 & 2 & 0 & -1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]矩阵 4：
\[ \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] \]由于这些是增广矩阵，变量个数等于（列数 − 1）。例如，5 列的增广矩阵有 \( 5 - 1 = 4 \) 个变量：\( x_1, x_2, x_3, x_4 \)。