逆矩阵问题及其解决方案 (Inverse Matrix Problems and Solutions)

教程包括示例和问题,以及有关如何求平方的倒数的详细解决方案 矩阵 采用行梯形法和辅因子法。 讨论了逆矩阵的性质,并包含与逆矩阵相关的各种问题,包括一些具有挑战性的问题及其详细解决方案。

页面内容


定义 单位矩阵 (Identity Matrix)

单位矩阵 I n 是阶数为 n x n 的方阵,主对角线中的元素由 1 组成,所有其他元素都等于 0 。
单位矩阵的示例
identity matrices


矩阵的逆矩阵的定义 (Definition of The Inverse of a Matrix)

A 为阶 n x n 的方阵。 如果存在同阶矩阵 B 使得
A B = I n = B A
其中 I n 是阶 n x n 的单位矩阵,则 B 称为 A 的逆矩阵,矩阵 A 是 B 的逆矩阵。
示例1
验证下面给出的矩阵 A 和 B 互为逆矩阵。
2 by 2 Matrix for Example 1

解决办法
让我们找到产品AB和BA
Product of 2 by 2 Matrice for Example 1

AB = BA = I 2 因此 A 和 B 互为逆。
方阵 A 的逆矩阵表示为 A -1 并且是唯一的。


使用行缩减方法求方阵的逆 (Find the Inverse of a Square Matrix Using the Row Reduction Method)

这种方法也称为高斯-乔丹消去法。
我们首先写出增广矩阵 \( \) \( \) \( \) \( \) \[ [ A | I ] \] 其中
I 是与矩阵A同阶的单位矩阵,然后使用行初等运算将其重写为 \[ [ I | A^{-1} ] \] 其中 \( A^{-1} \) 是矩阵 A 的逆矩阵。
一个在线计算器
包括使用行缩减找到矩阵的逆

示例2
求矩阵 A 的逆矩阵: \[ A = \begin{bmatrix} 1&1 \\ 2&4 \end{bmatrix} \] 如果它存在。
解决办法
写出增广矩阵 \( [ A | I )\) \[ \begin{bmatrix} 1&1&|&1&0\\2&4&|&0&1 \end{bmatrix} \] 步骤1 \[ \color{red}{\begin{matrix} \\ R_2 - 2 \times R_1 \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&1&|&1&0\\0&2&|&-2&1 \end{bmatrix} \] 步骤 2 \[ \color{red}{\begin{matrix} \\ (1/2)R_2 \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&1&|&1&0\\0&1&|&-1&1/2 \end{bmatrix} \] 步骤 3 \[ \color{red}{\begin{matrix} R_1 - R_2 \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&0&|&2&-1/2\\0&1&|&-1&1/2 \end{bmatrix} \] A 的倒数是 2×2 右边的矩阵由下式给出 \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 2&-1/2\\-1&1/2 \end{bmatrix} \]

示例3
求矩阵 A 的逆矩阵,由下式给出
\[ A = \begin{bmatrix}-2&2&0 \\ 2&1&3\\ -2&4&-2\end{bmatrix} \] 如果它存在。
解决办法
写出增广矩阵 \( [ A | I )\) \[ \begin{bmatrix} -2&2&0&|&1&0&0\\ 2&1&3&|&0&1&0 \\ -2 & 4 & -2 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 步骤 1 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ R_2 + R_1 \\ R_3 - R_1 \end{matrix} } \begin{bmatrix} -2&2&0&|&1&0&0\\ 0&3&3&|&1&1&0 \\ 0 & 2 & -2 &|& -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \] 步骤 2 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ \\ R_3 - (2/3) R_2 \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} -2&2&0&|&1&0&0\\ 0&3&3&|&1&1&0 \\ 0 & 0 & - 4&|& -5/3 & -2/3 & 1 \end{bmatrix} \] 步骤 3 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ \\ (-1/4)R_3 \\ \end{matrix}} \begin{bmatrix} -2&2&0&|&1&0&0\\ 0&3&3&|&1&1&0 \\ 0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4 \end{bmatrix} \] 步骤 4 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ R_2 - 3\times R_3 \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} -2&2&0&|&1&0&0\\ 0&3&0&|&-1/4&1/2&3/4 \\ 0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4 \end{bmatrix} \] 步骤 5 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ (1/3) R_2 \\ \\ \end{matrix}} \begin{bmatrix} -2&2&0&|&1&0&0\\ 0&1&0&|&-1/12&1/6&1/4 \\ 0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4 \end{bmatrix} \] 步骤 6 \[ \color{red}{ \begin{matrix} R_1- 2\times R_2 \\ \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} -2&0&0&|&7/6&-1/3&-1/2\\ 0&1&0&|&-1/12&1/6&1/4 \\ 0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4 \end{bmatrix} \] 步骤 7 \[ \color{red}{ \begin{matrix} (-1/2) R_1 \\ \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&0&0&|&-7/12&1/6&1/4\\ 0&1&0&|&-1/12&1/6&1/4 \\ 0 & 0 & 1&|& 5/12 & 1/6 & -1/4 \end{bmatrix} \] Hence \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -7/12&1/6&1/4\\ -1/12&1/6&1/4 \\ 5/12 & 1/6 & -1/4 \end{bmatrix} \]
有关如何使用行运算查找矩阵逆的更多示例 包括在内。


使用辅因子和佐数求方阵的逆

使用数值示例来解释该方法。 矩阵A如下所示。
\[ A = \begin{bmatrix} -1&0&1\\ 2&-1&2 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \] a) 求 A 的次要矩阵、辅因子矩阵、佐词矩阵和逆矩阵。
未成年人矩阵 (Matrix of Minors)
矩阵 A 的次数矩阵的条目 \( M_{i,j} \) 由删除 \( i^{th}\) 行和 \( j^{th}\) 所获得的行列式给出 柱子。

要找到 \( M_{1,1} \),请从矩阵 A 中删除第 1 行和第 1 列,然后找到剩余 2 x 2 矩阵的行列式,如下所示: \( M_{1,1} = Det \begin{bmatrix} .&.&.\\ .&-1&2 \\ .& 2 & 1 \end{bmatrix} = -1 - 4 = -5\)

要找到 \( M_{1,2} \),请从矩阵 A 中删除第 1 行和第 2 列,然后找到剩余 2 x 2 矩阵的行列式,如下所示: \( M_{1,2} = Det \begin{bmatrix} .&.&.\\ 2&.&2 \\ -1 & . & 1 \end{bmatrix} = 2 -(-2) = 4 \)

要找到 \( M_{1,3} \),请从矩阵 A 中删除第 1 行和第 3 列,然后找到剩余 2 x 2 矩阵的行列式,如下所示: \( M_{1,3} = Det \begin{bmatrix} .&.&.\\ 2&-1&. \\ -1 & 2 & . \end{bmatrix} = 4 - 1 = 3 \)

要找到 \( M_{2,1} \),请从矩阵 A 中删除第 2 行和第 1 列,然后找到剩余 2 x 2 矩阵的行列式,如下所示: \( M_{2,1} = Det \begin{bmatrix} .&0&1\\ .&.&. \\ . & 2 & 1 \end{bmatrix} = 0 - 2 = - 2 \)
...
...
其余条目由下式给出: \( M_{2,2} = 0 \) , \( M_{2,3} = -2 \) , \( M_{3,1} = 1\) , \( M_{3,2} = -4\) , \( M_{3,3} = 1\).
未成年人 M 的矩阵由下式给出
\( M = \begin{bmatrix} -5&4&3\\ -2&0&-2\\ 1&-4&1 \end{bmatrix} \)
辅因子矩阵 (Matrix of Cofactors)
矩阵 A 的辅因子 C 矩阵的项 \( C_{i,j} \) 由下式给出 \( C_{i,j} = (-1)^{i+j}M{i,j} \)

对条目 \( C_{i,j} \) 的评估给出:
\( C_{1,1} = (-1)^{1+1} M_{1,1} = -5 \)
\( C_{1,2} = (-1)^{1+2} M_{1,2} = - 4 \)
\( C_{1,3} = (-1)^{1+3} M_{1,3} = 3 \)
\( C_{2,1} = (-1)^{2+1} M_{2,1} = 2 \)
\( C_{2,2} = (-1)^{2+2} M_{2,2} = 0 \)
\( C_{3,1} = (-1)^{3+1} M_{3,1} = 1 \)
\( C_{3,2} = (-1)^{3+2} M_{3,2} = 4 \)
\( C_{3,3} = (-1)^{3+3} M_{3,1} = 1 \)
因此,辅因子矩阵 C 由下式给出 \( C = \begin{bmatrix} -5&-4&3\\ 2&0&2\\ 1&4&1 \end{bmatrix} \)
矩阵的伴随(和伴随) (Adjugate (or adjunct) of a Matrix)
矩阵 A 的辅助(或辅助)是其辅因子 C 矩阵的转置
\( Adjugate(A) = C^T = \begin{bmatrix} -5&2&1\\ -4&0&4\\ 3&2&1 \end{bmatrix} \)
逆矩阵
我们现在需要找到矩阵 A 的行列式 D。
使用矩阵 A 的第一行和已找到的相应次要数,D 由下式给出:
\( D = det\begin{bmatrix} -1&0&1\\ 2&-1&2 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} = A_{11}M_{1,1} - A_{1,2}M_{1,2} + A_{1,3}M_{1,3} = 8\)
矩阵 \( A \) 的逆矩阵由下式给出 \( A^{-1} = \dfrac{1}{D} C^T = \dfrac{1}{8} \begin{bmatrix} -5&2&1\\ -4&0&4\\ 3&2&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\dfrac{5}{8}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{8}\\ -\dfrac{1}{2}&0&\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{3}{8}&\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{8}\end{bmatrix}\)


2 × 2 矩阵的逆矩阵公式 (Formula for the Inverse of a 2 by 2 Matrix)

使用上述两种方法中的任何一种,都可以证明矩阵 A 的逆矩阵由下式给出: \[ A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \\ \end{bmatrix} \] is given by \[ A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b\\ -c & a \\ \end{bmatrix} \]


逆矩阵的性质 (Properties of Inverse Matrices)

具有逆矩阵的矩阵称为可逆矩阵。

  1. 如果 A 是可逆矩阵,则其逆矩阵唯一。
  2. \( A A^{-1} = A^{-1} A = I \)
  3. 如果矩阵 A 和 B 可逆,则: \( (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} \)
  4. 当且仅当其行列式不等于零时,矩阵才是可逆的。
  5. 行列式不等于零的矩阵称为非奇异矩阵。
  6. \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)
  7. \( Det(A^{-1}) = \dfrac{1}{Det(A)} \)
  8. \( (A^{-1})^{-1} = A \)


关于逆矩阵的问题 (Questions on Inverse Matrices)

  • 问题1
    使用行归约法求下列矩阵的逆矩阵:
    \( A = \begin{bmatrix} -1&-1&1\\ 2&0&-2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \) , \( B = \begin{bmatrix} 1&0&1&2\\ -1& 1 & 2 & 0 \\ -2& 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
  • 问题2
    使用余因子方法求以下矩阵的逆矩阵。
    \( A = \begin{bmatrix} -1&0&3\\ 3&2&2 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix} \)
  • 问题3
    A、B 和 C 是 2 x 2 矩阵。 矩阵 B 和 C 由下式给出:
    \[ B = \begin{bmatrix} -1&-1\\ -2& 1 \end{bmatrix} , C = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -2 & 2 \end{bmatrix} \] 找到矩阵 A 使得 AB = C。
  • 问题4
    对于什么 k 值,下面给出的每个矩阵都是可逆的?
    a) \( \begin{bmatrix} k & -1 & 4\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} \) , b) \( \begin{bmatrix} k & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \) , c) \( \begin{bmatrix} k & -1 & 4\\ 0 & k + 1 & 1\\ 0 & 0 & k -3 \end{bmatrix} \)
  • 问题5
    方阵 P、Q、R 和 S 具有相同维度且可逆,使得 \[ P = Q R^{-1} S \] 用\(P\)、\(Q\)和\(S\)或/和它们的矩阵逆来表达(或确定)\(R\)。


  • 问题6
    矩阵 A 由下式给出
    \( A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 & 0\\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0\\ 0 & 0 & 0 & d \end{bmatrix} \)
    如果参数 a、b、c 和 d 都不为零,则求矩阵 A 的逆矩阵公式。
  • 问题7
    使用逆矩阵来求解方程组 \( \begin{bmatrix} 1&0&1&2\\ -1& 1 & 2 & 0 \\ -2& 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 1 \\ -1\\ 2 \end{bmatrix} \)
  • 问题8
    求解下列方程组最有效的方法是什么?
    \( A X_1 = B_1 \) , \( A X_2 = B_2 \) , \( A X_3 = B_3 \) ... \( A X_i = B_i \)
  • 问题9
    A 和 B 是相同维数的可逆矩阵,关系式为: \( A^{-1} = A B \).
    根据 A 或其逆来求 B。
  • 问题10
    1) 举一个 2 x 2 矩阵 A 和 B 不可逆的例子,但 A + B 是可逆的
    2) 举一个 2 x 2 矩阵 A 和 B 不可逆的例子,但 A - B 是可逆的
  • 问题11
    使用这两种方法中的任何一种来找到 2 × 2 矩阵的逆公式。(上面已经给出了,但没有证明)。
  • 问题12
    矩阵形式的方程组
    \( A X = B \)
    有如下解决方案: \( X_1 = \begin{bmatrix} -1\\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \) for \( B_1 = \begin{bmatrix} 2\\ 13 \\ 3 \end{bmatrix} \) , \( X_2 = \begin{bmatrix} 0\\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \) for \( B_2 = \begin{bmatrix} 4\\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \) , \( X_3 = \begin{bmatrix} 1\\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) for \( B_3 = \begin{bmatrix} 4\\ 5 \\ 3 \end{bmatrix} \).
    查找 X 为 \( B = \begin{bmatrix} 1\\ -9 \\ -1 \end{bmatrix} \).



上述问题的解答

  • 问题1的解答
    矩阵 A 的逆矩阵
    写出增广矩阵 \( [ A | I ] \) \[ \begin{bmatrix} -1&-1&1&|&1&0&0\\ 2&0&-2&|&0&1&0 \\ 1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
    步骤 1 \[ \color{red}{ \begin{matrix} -R_1\\ \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&1&-1&|&-1&0&0\\ 2&0&-2&|&0&1&0 \\ 1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
    步骤 2 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ R_2-2R_1 \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&1&-1&|&-1&0&0\\ 0&-2&0&|&2&1&0 \\ 1 & 1 & 1 &|& 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
    步骤 3 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ \\ R_3-R_1\\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&1&-1&|&-1&0&0\\ 0&-2&0&|&2&1&0 \\ 0 & 0 & 2 &|& 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
    步骤 4 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ R_2=(-1/2)R_2\\ R_3=(1/2)R_3\\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&1&-1&|&-1&0&0\\ 0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} \]
    步骤 5 \[ \color{red}{ \begin{matrix} R_1+R_3\\ \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&1&0&|&-1/2&0&1/2\\ 0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} \]
    步骤 6 \[ \color{red}{ \begin{matrix} R_1-R_2\\ \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&0&0&|&1/2&1/2&1/2\\ 0&1&0&|&-1&-1/2&0 \\ 0 & 0 & 1 &|& 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} \]
    矩阵 A 的逆矩阵是右侧的 3 x 3 矩阵。 因此

    \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2&1/2&1/2\\ -1&-1/2&0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} \]

    矩阵 B 的逆矩阵
    写出增广矩阵 \( [ B | I ] \) \[ \begin{bmatrix} 1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\ -1& 1 & 2 & 0 &|&0&1&0&0 \\ -2& 0 & 1 & 2 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
    步骤 1 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ R_2+R_1\\ R_3+2R_1\\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\ 0& 1 & 3 & 2 &|&1&1&0&0 \\ 0& 0 & 3 & 6 &|& 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

    步骤 2 \[ \color{red}{ \begin{matrix} \\ \\ (1/3) R_3\\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&0&1&2 & |&1&0&0&0\\ 0& 1 & 3 & 2 &|&1&1&0&0 \\ 0& 0 & 1 & 2 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
    步骤 3 \[ \color{red}{ \begin{matrix} R_1-2R_4\\ R_2-2R_4\\ R_3-2R_4\\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&0&1&0 & |&1&0&0&-2\\ 0& 1 & 3 & 0 &|&1&1&0&-2 \\ 0& 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
    步骤 4 \[ \color{red}{ \begin{matrix} R_1-R_3\\ R_2-3R_3\\ \\ \\ \end{matrix} } \begin{bmatrix} 1&0&1&0 & |&1/3&0&-1/3&0\\ 0& 1 & 0 & 0 &|&-1&1&-1&4 \\ 0& 0 & 1 & 0 &|& 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & |& 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
    矩阵 B 的逆矩阵是右侧的 4 x 4 矩阵。 因此

    \[ B^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3&0&-1/3&0\\ -1&1&-1&4 \\ 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]
  • 问题2的解答
    我们首先找到未成年人。
    \( M_{1,1} = Det \begin{bmatrix} .&.&.\\ .&2&2 \\ .& 0 & 1 \end{bmatrix} = 2\) , \( M_{1,2} = Det \begin{bmatrix} .&.&.\\ 3&.&2 \\ 0& . & 1 \end{bmatrix} = 3\) , \( M_{1,3} = Det \begin{bmatrix} .&.&.\\ 3&2&. \\ 0& 0 & . \end{bmatrix} = 0 \)

    \( M_{2,1} = Det \begin{bmatrix} .&0&3\\ .&.&. \\ .& 0 & 1 \end{bmatrix} = 0\) , \( M_{2,2} = Det \begin{bmatrix} -1&.&3\\ . & . & . \\ 0& . & 1 \end{bmatrix} = -1\) , \( M_{2,3} = Det \begin{bmatrix} -1&0&.\\ . & . & .\\ 0& 0 & . \end{bmatrix} = 0\)

    \( M_{3,1} = Det \begin{bmatrix} .&0&3\\ .&2&2 \\ . & . & . \end{bmatrix} = - 6\) , \( M_{3,2} = Det \begin{bmatrix} -1&.&3\\ 3&.&2 \\ . & . & . \end{bmatrix} = - 11\) , \( M_{3,3} = Det \begin{bmatrix} -1&0& .\\ 3&2& . \\ . & . & . \end{bmatrix} = - 2\)
    辅因子矩阵 C 的条目定义为
    \( C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j} \) \[ C = \begin{bmatrix} 2&-3&0\\ 0&-1&0 \\ - 6 & 11 & -2 \end{bmatrix} \]
    我们需要使用第三行找到 A 的行列式 D(它有 2 个零!)
    \( D = A_{3,3} M_{3,3} = - 2 \)
    矩阵 A 的逆矩阵由下式给出 \( A^{-1} = \dfrac{1}{D} C^T = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2&0&-6\\ -3&-1&11\\ 0&0&-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&0&3\\ \dfrac{3}{2}& \dfrac{1}{2} & -\dfrac{11}{2}\\ 0&0&1\end{bmatrix}\)
  • 问题3的解答
    给定
    \( A B = C \)
    两边右乘以 \( B^{-1} \)
    \( A B B^{-1} = C B^{-1}\)
    在左侧使用关联性
    \( A (B B^{-1}) = C B^{-1} \)
    简化
    \( A I = C B^{-1} \)
    \( A = C B^{-1} \)
    使用 2 x 2 矩阵的逆公式求出 B 的逆矩阵。
    \( Det(B) = -3 \)
    \( B^{-1} = - \dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1&1\\ 2& -1 \end{bmatrix} \)

    \( A = C B^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -2 & 2 \end{bmatrix} (- \dfrac{1}{3}) \begin{bmatrix} 1&1\\ 2& -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0&-1\\ -2/3& 4/3 \end{bmatrix}\)

    注意:您可以通过代入方程 \( A B = C \) 来检查矩阵 A 的答案
  • 问题4的解答
    如果矩阵的行列式不等于零,则该矩阵是可逆的。
    a) 使用第二列,
    Det\( \begin{bmatrix} k & -1 & 4\\ 2 & 0 & 1\\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} = - 1\) 该矩阵对于任何 k 个实数都是可逆的

    b) Det\( \begin{bmatrix} k & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = 3k - 1\)
    \( 3k - 1 \ne 0 \)
    \( k \ne 1/3 \)
    对于 k 不等于 1/3 的所有实数值,b) 部分中的矩阵是可逆的。

    c) 给定矩阵是上三角矩阵,其行列式等于从左到右对角线中各项的乘积。
    Det \( \begin{bmatrix} k & -1 & 4\\ 0 & k + 1 & 1\\ 0 & 0 & k -3 \end{bmatrix} k(k+1)(k-3)\)
    \( k(k+1)(k-3) \ne 0 \)
    如果 k 不等于 0、- 1 或 3,则给定矩阵可逆。
  • 问题5的解答
    将等式两边右乘以 \( S^{-1} \)
    \( P S^{-1} = Q R^{-1} S S^{-1} \)
    简化
    \( P S^{-1} = Q R^{-1} I \)
    \( P S^{-1} = Q R^{-1} \)
    将等式两边左乘以 \( Q^{-1} \)
    \( Q^{-1} P S^{-1} = Q^{-1} Q R^{-1} \)
    简化
    \( Q^{-1} P S^{-1} = I R^{-1}\)
    \( Q^{-1} P S^{-1} = R^{-1} \)
    两边取逆
    \( (Q^{-1} P S^{-1})^{-1} = (R^{-1})^{-1} \)
    简化
    \( R = S P^{-1} Q \)
  • 问题6的解答
    写出增广矩阵 \( [ A | I ]\)

    \( \begin{bmatrix} a & 0 & 0 & 0&|&1&0&0&0\\ 0 & b & 0 & 0&|&0&1&0&0 \\ 0 & 0 & c & 0 &|& 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & d &|& 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

    将行 (1) 乘以 1/a、行 (2) 乘以 1/b、行 (3) 乘以 1/c、行 (4) 乘以 1/d 并化简

    \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0&|&1/a&0&0&0\\ 0 & 1 & 0 & 0&|&0&1/b&0&0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 &|& 0 & 0 & 1/c & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 &|& 0 & 0 & 0 & 1/d \end{bmatrix} \)

    给定矩阵的逆矩阵是

    \( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/a&0&0&0\\ 0&1/b&0&0 \\ 0 & 0 & 1/c & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1/d \end{bmatrix} \)
  • 问题7的解答
    该系统的形式为
    A X = B with A = \( \begin{bmatrix} 1&0&1&2\\ -1& 1 & 2 & 0 \\ -2& 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) , \( B =\begin{bmatrix} 0\\ 1 \\ -1\\ 2 \end{bmatrix} \) and \( X = \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} \)
    将等式两边右乘以 \( A^{-1} \) 并化简。
    \( A^{-1} A X = A^{-1} B \)
    \( I_3 X = A^{-1} B , I_3 \) 是 3 x 3 单位矩阵
    简化上面的
    \( X = A^{-1} B \)
    矩阵 A 的逆矩阵在问题 1 中计算,由下式给出(它是问题 1 中的矩阵 B)
    \( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/3&0&-1/3&0\\ -1&1&-1&4 \\ 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
    \( \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{bmatrix} = A^{-1} B = \begin{bmatrix} 1/3&0&-1/3&0\\ -1&1&-1&4 \\ 2/3 & 0 & 1/3 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 1 \\ -1\\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\dfrac{1}{3}\\ 10\\ -\dfrac{13}{3}\\ 2\end{bmatrix}\)
  • 问题8的解答
    由于矩阵 A 对于所有给定系统都是通用的,因此求解以下形式的方程组的最有效方法
    \( A X_1 = B_1 \) , \( A X_2 = B_2 \) , \( A X_3 = B_3 \) ... \( A X_2 = B_i \)
    就是求矩阵A的逆并求解如下(见上面问题7)
    \( X_1 = A^{-1} B_1 \) , \( X_2 = A^{-1} B_2 \) , \( X_3 = A^{-1} B_3 \) ... \( X_i = A^{-1} B_i \)
  • 问题9的解答
    A 和 B 是相同维度的可逆矩阵,相关关系为:\( A^{-1} = A B \)。
    根据 A 或其逆来求 B。
    将方程右乘以 \( A^{-1} \)
    \( A^{-1} A^{-1} = A^{-1} A B \)
    简化
    \( A^{-1} A^{-1} = I B \)
    简化为
    \( B = A^{-2}\)
  • 问题10的解答
    这个问题的两个部分都有很多可能的答案。
    1) \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ - 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \) , \(A + B = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ - 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \)

    2) \(A = \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} , B = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ - 1 & 4 \\ \end{bmatrix} \) , \(A - B = \begin{bmatrix} 3 & 1\\ 1 & - 4 \\ \end{bmatrix} \)
    检查矩阵 A 和 B 的行列式是否等于 0,因此不可逆。 检查 A + B 和 A - B 的行列式不等于 0,因此可逆。
  • 问题11的解答
    让 \(A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \\ \end{bmatrix} \)
    我们将使用辅因子的方法。 我们首先计算未成年人
    \( M_{1,1} = d\) , \( M_{1,2} = c\) , \( M_{2,1} = b\) , \( M_{2,2} = a\)
    Then the cofactors using the formula: \( C_{i,j} = (-1)^{i+j}M_{i,j} \)
    \( C_{1,1} = d\) , \( C_{1,2} = - c\) , \( C_{2,1} = - b\) , \( C_{2,2} = a\)
    A 的行列式是
    \( D = a d - b c \)
    \( A^{-1} = \dfrac{1}{a d - b c} \begin{bmatrix} d & - c\\ - d & a \\ \end{bmatrix}^T = \dfrac{1}{a d - b c} \begin{bmatrix} d & - d\\ - c & a \\ \end{bmatrix} \)
  • 问题12的解答
    解可以写成矩阵形式如下
    \( A \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 4\\ 17 & 2 & 5\\ 5 & 2 & 3 \end{bmatrix} \)
    which gives
    \( A = \begin{bmatrix} 5 & 4 & 4\\ 17 & 2 & 5\\ 5 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \)
    这给出了
    \( A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 4 & 4\\ 17 & 2 & 5\\ 5 & 2 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \)
    解 X 由下式给出
    \( X = A^{-1} B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & - 1 & 1\\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 4 & 4\\ 17 & 2 & 5\\ 5 & 2 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1\\ -9 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ -2 \\ -1 \end{bmatrix} \)


更多矩阵参考和链接

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