逆矩阵问题与解答

单位矩阵的定义

单位矩阵 \( I_n \) 是阶为 \( n \times n \) 的方阵，其主对角线上的所有元素都等于 \( 1 \)，其他所有元素都等于 \( 0 \)。

单位矩阵示例：

\[ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} , \quad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} , \quad I_4 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

矩阵的逆的定义

设 \( A \) 是阶为 \( n \times n \) 的方阵。如果存在同阶矩阵 \( B \) 使得

\( A B = I_n = B A \)

其中 \( I_n \) 是阶为 \( n \times n \) 的单位矩阵，则称 \( B \) 为 \( A \) 的逆，且 \( A \) 是 \( B \) 的逆。

用行化简求逆

此方法也称为高斯-约当消元法。

首先写出增广矩阵

\[ [ A \mid I ] \]

其中 \( I \) 是与 \( A \) 同阶的单位矩阵，然后使用初等行运算将其改写为

\[ [ I \mid A^{-1} ] \]

其中 \( A^{-1} \) 是 \( A \) 的逆。

包含一个用行化简求矩阵逆的在线计算器。

用余子式、代数余子式和伴随矩阵求逆

通过数值示例解释此方法。矩阵 \( A \) 如下：

\( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \end{bmatrix} \)

余子式矩阵

\( A \) 的余子式矩阵的元素 \( M_{i,j} \) 是删除第 \( i \) 行和第 \( j \) 列后得到的行列式。

求 \( M_{1,1} \)，删除第 1 行和第 1 列：

\( M_{1,1} = \det \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = (-1)(1) - (2)(2) = -1 - 4 = -5 \)

求 \( M_{1,2} \)，删除第 1 行和第 2 列：

\( M_{1,2} = \det \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = (2)(1) - (2)(-1) = 2 + 2 = 4 \)

求 \( M_{1,3} \)，删除第 1 行和第 3 列：

\( M_{1,3} = \det \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = (2)(2) - (-1)(-1) = 4 - 1 = 3 \)

求 \( M_{2,1} \)，删除第 2 行和第 1 列：

\( M_{2,1} = \det \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = (0)(1) - (1)(2) = -2 \)

其余余子式为：

\( M_{2,2} = 0, \quad M_{2,3} = -2, \quad M_{3,1} = 1, \quad M_{3,2} = -4, \quad M_{3,3} = 1 \)

余子式矩阵 \( M \) 为：

\( M = \begin{bmatrix} -5 & 4 & 3 \\ -2 & 0 & -2 \\ 1 & -4 & 1 \end{bmatrix} \)

代数余子式矩阵

代数余子式矩阵的元素 \( C_{i,j} \) 由下式给出：

\( C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j} \)

计算各元素：

\( C_{1,1} = -5,\; C_{1,2} = -4,\; C_{1,3} = 3,\; C_{2,1} = 2,\; C_{2,2} = 0,\; C_{2,3} = -2,\; C_{3,1} = 1,\; C_{3,2} = 4,\; C_{3,3} = 1 \)

因此：

\( C = \begin{bmatrix} -5 & -4 & 3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 4 & 1 \end{bmatrix} \)

矩阵的伴随矩阵

\( A \) 的伴随矩阵（也称为经典伴随矩阵）是其代数余子式矩阵的转置：

\( \operatorname{adj}(A) = C^{T} = \begin{bmatrix} -5 & 2 & 1 \\ -4 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \end{bmatrix} \)

逆矩阵

使用第一行和已求得的余子式求 \( A \) 的行列式 \( D \)：

\( D = (-1)(-5) - (0)(4) + (1)(3) = 5 + 0 + 3 = 8 \)

\( A \) 的逆为：

\( A^{-1} = \dfrac{1}{D} C^{T} = \dfrac{1}{8} \begin{bmatrix} -5 & 2 & 1 \\ -4 & 0 & 4 \\ 3 & -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\tfrac{5}{8} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{8} \\ -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \\ \tfrac{3}{8} & -\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{8} \end{bmatrix} \)

2 乘 2 矩阵的逆公式

使用上述任一方法，矩阵

\( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)

的逆由下式给出

\( A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \)

前提是 \( ad - bc \neq 0 \)。

逆矩阵的性质

有逆的方阵称为可逆矩阵。

1. 如果 \( A \) 可逆，则其逆唯一。
2. \( A A^{-1} = A^{-1} A = I \)
3. 如果 \( A \) 和 \( B \) 可逆，则 \( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \)。
4. 方阵可逆当且仅当其行列式不等于零。
5. 行列式不等于零的矩阵称为非奇异矩阵。
6. \( (A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T} \)
7. \( \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)} \)
8. \( (A^{-1})^{-1} = A \)

逆矩阵习题

1. 问题 1
   使用行化简方法求以下矩阵的逆：

   \( A = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

2. 问题 2
   使用代数余子式方法求 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 的逆。
3. 问题 3
   \( A, B, C \) 是 2 乘 2 矩阵，其中 \( B = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}, \; C = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \)。 求矩阵 \( A \) 使得 \( AB = C \)。
4. 问题 4
   \( k \) 取何值时，每个矩阵可逆？

   a) \( \begin{bmatrix} k & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} , \quad \) b) \( \begin{bmatrix} k & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}, \quad \) c) \( \begin{bmatrix} k & -1 & 4 \\ 0 & k+1 & 1 \\ 0 & 0 & k-3 \end{bmatrix} \)

5. 问题 5
   同维度的可逆方阵 \( P, Q, R, S \) 满足 \( P = Q R^{-1} S \)。用 \( P, Q, S \) 或其逆表示 \( R \)。
6. 问题 6
   矩阵 \( A \) 为 \( A = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d \end{bmatrix} \)。 假设 \( a, b, c, d \) 均不为零，求 \( A^{-1} \) 的公式。
7. 问题 7
   使用逆矩阵求解 \[ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]
8. 问题 8
   求解方程组 \( A X_1 = B_1, \; A X_2 = B_2, \; A X_3 = B_3, \ldots, A X_i = B_i \) 最有效的方法是什么？
9. 问题 9
   同维度的可逆矩阵 \( A \) 和 \( B \) 满足 \( A^{-1} = A B \)。用 \( A \) 或其逆表示 \( B \)。
10. 问题 10
    
    1. 给出 2 乘 2 矩阵 \( A \) 和 \( B \) 的例子，使得两者均不可逆但 \( A + B \) 可逆。
    2. 给出 2 乘 2 矩阵 \( A \) 和 \( B \) 的例子，使得两者均不可逆但 \( A - B \) 可逆。
11. 问题 11
    使用两种方法中的任一种求 2 乘 2 矩阵的逆公式。
12. 问题 12
    方程组 \( A X = B \) 有解 \[ X_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} \text{ 对应 } B_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 13 \\ 3 \end{bmatrix}, \quad X_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} \text{ 对应 } B_2 = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad X_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \text{ 对应 } B_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}. \] 求 \( B = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ -1 \end{bmatrix} \) 对应的 \( X \)。

上述习题的解答

1. 问题 1 解答

   矩阵 \( A \) 的逆

   写出增广矩阵 \( [ A \mid I ] \)：

   \( \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   步骤 1 — \( R_1 \leftarrow -R_1 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   步骤 2 — \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & | & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   步骤 3 — \( R_3 \leftarrow R_3 - R_1 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & | & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   步骤 4 — \( R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2 \), \( R_3 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_3 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & | & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & -\tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

   步骤 5 — \( R_1 \leftarrow R_1 + R_3 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & | & -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & -\tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

   步骤 6 — \( R_1 \leftarrow R_1 - R_2 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 & -\tfrac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

   \( A^{-1} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \\ -1 & -\tfrac{1}{2} & 0 \\ \tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix} \)

   验证： \( A A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ -1 & -1/2 & 0 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I_3 \)

   矩阵 \( B \) 的逆

   写出增广矩阵 \( [ B \mid I ] \)：

   \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 2 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 2 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   步骤 1 — \( R_2 \leftarrow R_2 + R_1 \), \( R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & | & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 6 & | & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   步骤 2 — \( R_3 \leftarrow \tfrac{1}{3}R_3 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & | & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & | & \tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   步骤 3 — \( R_1 \leftarrow R_1 - 2R_4 \), \( R_2 \leftarrow R_2 - 2R_4 \), \( R_3 \leftarrow R_3 - 2R_4 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 3 & 0 & | & 1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   步骤 4 — \( R_1 \leftarrow R_1 - R_3 \), \( R_2 \leftarrow R_2 - 3R_3 \):

   \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & \tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & \tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   \( B^{-1} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 4 \\ \tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   验证（部分）： 检查 \(B B^{-1}\) 是否等于 \(I_4\)。 \(B\) 的第 1 行乘以 \(B^{-1}\) 的第 1 列： \(1(1/3)+0(-1)+1(2/3)+2(0) = 1\)。
   \(B\) 的第 1 行乘以 \(B^{-1}\) 的第 4 列： \(1(0)+0(4)+1(-2)+2(1) = 0\)。
2. 问题 2 解答

   求 \( A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ 3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 的余子式：

   \( M_{1,1} = \det \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 2, \quad M_{1,2} = \det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 3, \quad M_{1,3} = \det \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 \)

   \( M_{2,1} = \det \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 0, \quad M_{2,2} = \det \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = -1, \quad M_{2,3} = \det \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 \)

   \( M_{3,1} = \det \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = -6, \quad M_{3,2} = \det \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = -11, \quad M_{3,3} = \det \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = -2 \)

   代数余子式矩阵 \( C_{i,j} = (-1)^{i+j}M_{i,j} \):

   \( C = \begin{bmatrix} 2 & -3 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ -6 & 11 & -2 \end{bmatrix} \)

   使用第三行（两个零）求行列式：

   \( D = A_{3,3} M_{3,3} = (1)(-2) = -2 \)

   \( A^{-1} = \dfrac{1}{D} C^{T} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0 & -6 \\ -3 & -1 & 11 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 3 \\ \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{11}{2} \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   验证（部分）： \(A\) 的第 1 行乘以 \(A^{-1}\) 的第 3 列： \((-1)(3)+(0)(-11/2)+(3)(1) = -3+3 = 0\)。
   \(A\) 的第 2 行乘以 \(A^{-1}\) 的第 1 列： \(3(-1)+2(3/2)+2(0) = -3+3 = 0\)。
3. 问题 3 解答

   已知 \( A B = C \)，两边右乘 \( B^{-1} \)：

   \( A B B^{-1} = C B^{-1} \Rightarrow A = C B^{-1} \)

   使用 2 乘 2 公式计算 \( B \) 的逆。由于 \( \det(B) = (-1)(1) - (-1)(-2) = -1 - 2 = -3 \)：

   \( B^{-1} = -\dfrac{1}{3} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \)

   因此：

   \( A = C B^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} \left(-\dfrac{1}{3}\right) \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -\tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{3} \end{bmatrix} \)

   \( A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -\tfrac{2}{3} & \tfrac{4}{3} \end{bmatrix} \)

   验证： \( A B = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -2/3 & 4/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} = C \)。
4. 问题 4 解答

   矩阵可逆当且仅当其行列式不为零。

   a) 沿第二列展开（有两个零）：

   \( \det \begin{bmatrix} k & -1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix} = -(-1) \cdot \det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = (1)\bigl((2)(-1) - (1)(-1)\bigr) = (1)(-2+1) = -1 \)

   行列式为 \(-1 \neq 0\) 对所有实数 \( k \) 成立。因此该矩阵对所有实数 \( k \) 可逆。

   b)

   \( \det \begin{bmatrix} k & -1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} = 3k - 1 \)

   令 \( 3k - 1 \neq 0 \Rightarrow k \neq \tfrac{1}{3} \)。

   矩阵对所有实数 \( k \neq \tfrac{1}{3} \) 可逆。

   c) 矩阵是上三角矩阵，因此其行列式等于对角线元素之积：

   \( \det = k(k+1)(k-3) \)

   当 \( k(k+1)(k-3) \neq 0 \)，即 \( k \neq 0, -1, 3 \) 时矩阵可逆。

5. 问题 5 解答

   从 \( P = Q R^{-1} S \) 开始。两边右乘 \( S^{-1} \) 并化简：

   \( P S^{-1} = Q R^{-1}S S^{-1}\)

   \( P S^{-1} = Q R^{-1} \)

   两边左乘 \( Q^{-1} \)：

   \( Q^{-1} P S^{-1} = R^{-1} \)

   两边取逆（使用 \( (XYZ)^{-1} = Z^{-1}Y^{-1}X^{-1} \)）：

   \( R = (Q^{-1} P S^{-1})^{-1} = S P^{-1} Q \)

6. 问题 6 解答

   写出增广矩阵 \( [ A \mid I ] \)：

   \( \begin{bmatrix} a & 0 & 0 & 0 & | & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & | & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d & | & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   将每一行乘以其对角元素的倒数：

   \( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & | & 1/a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1/b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & | & 0 & 0 & 1/c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 0 & 1/d \end{bmatrix} \)

   \( A^{-1} = \begin{bmatrix} 1/a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1/c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/d \end{bmatrix} \)

7. 问题 7 解答
   提示： 这里的系数矩阵与问题 1 中的矩阵 \( B \) 相同。

   方程组为 \( A X = B \)，其中

   \( A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} \)

   则 \( X = A^{-1} B \)。由问题 1（矩阵 \(B\)），

   \( A^{-1} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 4 \\ \tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

   因此：

   \( X = A^{-1} B = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} & 0 & -\tfrac{1}{3} & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 4 \\ \tfrac{2}{3} & 0 & \tfrac{1}{3} & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{3} \\ 10 \\ -\tfrac{13}{3} \\ 2 \end{bmatrix} \)

   \( x_1 = \tfrac{1}{3}, \; x_2 = 10, \; x_3 = -\tfrac{13}{3}, \; x_4 = 2 \)

   验证（第一个方程）： \( x_1 + x_3 + 2x_4 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{13}{3} + 4 = -4 + 4 = 0\)。
8. 问题 8 解答

   由于矩阵 \( A \) 对所有形如

   \( A X_1 = B_1, \; A X_2 = B_2, \; A X_3 = B_3, \ldots, A X_i = B_i \)

   的方程组都是相同的，最有效的方法是计算一次 \( A^{-1} \)，然后使用

   \( X_1 = A^{-1} B_1, \; X_2 = A^{-1} B_2, \; X_3 = A^{-1} B_3, \ldots, X_i = A^{-1} B_i \)

9. 问题 9 解答

   已知 \( A^{-1} = A B \)，两边右乘 \( A^{-1} \)：

   \( A^{-1} A^{-1} = A^{-1} A B \Rightarrow A^{-2} = I B \)

   \( B = A^{-2} \)

10. 问题 10 解答

    可以构造许多例子。

    1)

    \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, \quad A + B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)

    \( A \) 和 \( B \) 都是奇异的（\( \det = 0 \)），但 \( \det(A+B) = 1 - (-1) = 2 \neq 0 \)。

    2)

    \( A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}, \quad A - B = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \)

    \( A \) 和 \( B \) 都是奇异的，但 \( \det(A-B) = -12 - 1 = -13 \neq 0 \)。

11. 问题 11 解答

    设 \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)。使用代数余子式方法。

    余子式：\( M_{1,1} = d, \; M_{1,2} = c, \; M_{2,1} = b, \; M_{2,2} = a \)。

    代数余子式：\( C_{1,1} = d, \; C_{1,2} = -c, \; C_{2,1} = -b, \; C_{2,2} = a \)。

    行列式：\( D = ad - bc \)。

    伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置：

    \( \operatorname{adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \)

    \( A^{-1} = \dfrac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}, \quad ad - bc \neq 0 \)

12. 问题 12 解答

    三个给定的解可以合并为一个矩阵方程：

    \[ A \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 13 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 3 \end{bmatrix} \]

    这是因为左侧矩阵的每一列是 \(X_i\)，右侧矩阵的每一列是对应的 \(B_i\)，满足 \(A X_i = B_i\)。

    解出 \(A\) 得到

    \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 13 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}^{-1} \]

    两边取逆（使用 \((XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}\)）得到

    \[ A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 13 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \]

    对于新的右端向量 \(B = \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ -1 \end{bmatrix}\)，解 \(X\) 为

    \[ X = A^{-1} B = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 4 & 4 \\ 13 & 2 & 5 \\ 3 & 2 & 3 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 1 \\ -9 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -\tfrac{11}{6} \end{bmatrix} \]

    \( X = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ -\tfrac{11}{6} \end{bmatrix} \)

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