# 转置矩阵 (Transpose matrix)

## 矩阵转置的定义 ( Definition of the Transpose of a Matrix)

a)

b)

c)

d)
$$D = \begin{bmatrix} 2 & - 5 & 9 \\ -7 & 0 & 9 \\ 1 & -2 & 11 \end{bmatrix}$$

$$D^T = \begin{bmatrix} 2 & -7 & 1 \\ - 5 & 0 & -2 \\ 9 & 9 & 11 \end{bmatrix}$$

## 矩阵转置的性质 (Properties of matrix transpose)

1.   $$(A^T)^T = A$$.
2.   $$(AB)^T = B^T A^T$$
3.   $$(A+B)^T = A^T + B^T$$
4. $$(k A)^T = k A^T$$ , k 是实数。
5.   $$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$$
6.   $$Det(A^T) = Det(A)$$.
7.   $$A^T = A$$ 当且仅当 $$A$$ 是对称矩阵.
8.   $$A^{-1} = A^T$$ 当且仅当 $$A$$ 是一个 正交（方）矩阵。

## 示例及解决方案 (Examples with Solutions)

a) $$A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$      b) $$B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$      c) $$C = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ 1 & -4 \\ 0 & -1 \\ 7 & -4 \\ \end{bmatrix}$$

a) $$A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$      b) $$B^T = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$      c) $$C^T = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 & 7 \\ -7 & -4 & -1 & -4 \end{bmatrix}$$

$$AB = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}$$

$$(AB)^T = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix}$$

$$A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$ , $$B^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}$$

$$B^T A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix}$$

$$A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1\\ 0 & 2 \end{bmatrix}$$

$$(A^T)^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\quad \quad = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}$$

$$A^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

$$\quad \quad = \begin{bmatrix} -1 & -\dfrac{1}{2}\\ 0 & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}$$

$$(A^{-1}) ^T = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix}$$

$$A^T \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$$

$$Det(A^T) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 ( 0 - 2(-2)) = 2$$

$$A^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix}$$

## 问题 （以下给出解决方案） (Problems)

• 第1部分
给定矩阵 $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$，计算并证明矩阵 $$A^T A$$ 和 $$A A^T$$ 都是对称的。
• 第2部分
给定矩阵 $$A = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix}$$ 和 $$B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}$$ ，求矩阵 $$(A+B)^T$$
• 第3部分
给定矩阵 $$A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix}$$. 证明 $$A A^T = A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ 因此 $$A^{-1} = A^T$$。