转置矩阵 (Transpose matrix)
矩阵转置的定义 ( Definition of the Transpose of a Matrix)
如果 M 是一个 m × n
矩阵,然后 M 的 转置,表示为 MT,是 n×m 矩阵的行和列互换得到的矩阵 M.
这些是矩阵转置的示例。
a)
矩阵 A 有一行,大小(或顺序) 1 ×3 。 矩阵 A 的转置是通过将矩阵的行交换为列来获得的。 因此矩阵 A 的转置大小为 3 × 1 并用 AT 表示,由下式给出
b)
矩阵 B 的转置,该矩阵有一列,大小为 4 × 1,是将矩阵的列换成行得到的。 因此矩阵 B 的转置阶数为 1 × 4 并表示为 BT 由下式给出
c)
矩阵 C 的大小为 2 × 3 。 该矩阵的转置是通过将矩阵的行交换为列(或将列交换为行)来获得的。 因此,矩阵 C 的转置 CT 具有顺序 3 × 2 由下式给出
d)
\(
D =
\begin{bmatrix}
2 & - 5 & 9 \\
-7 & 0 & 9 \\
1 & -2 & 11
\end{bmatrix}
\)
阶数为 \( 3 \times 3 \) 的矩阵 \( D \) 的转置是通过将矩阵的行交换为列(或将列交换为行)来获得的。 因此矩阵 \( D \) 的转置 \( D^T \) 的阶数为 \( 3 \times 3 \) ,由下式给出
\(
D^T =
\begin{bmatrix}
2 & -7 & 1 \\
- 5 & 0 & -2 \\
9 & 9 & 11
\end{bmatrix}
\)
注意给定矩阵转置的行是矩阵的列,转置的列是矩阵的行。
矩阵转置的性质 (Properties of matrix transpose)
下面给出了矩阵转置的一些最重要的属性。
- \( (A^T)^T = A \).
- \( (AB)^T = B^T A^T \)
- \( (A+B)^T = A^T + B^T \)
- \( (k A)^T = k A^T \) , k 是实数。
- \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)
- \( Det(A^T) = Det(A) \).
- \( A^T = A \) 当且仅当 \( A \) 是对称矩阵.
- \( A^{-1} = A^T \) 当且仅当 \( A \) 是一个 正交(方)矩阵。
示例及解决方案 (Examples with Solutions)
例子 1
求矩阵的转置:
a) \( A =
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \) b) \( B =
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1 \\
\end{bmatrix} \) c) \( C =
\begin{bmatrix}
5 & -7 \\
1 & -4 \\
0 & -1 \\
7 & -4 \\
\end{bmatrix} \)
解决方案
我们通过交换行和列来找到矩阵的转置,如下所示:
a) \( A^T =
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0 \\
1 & 0
\end{bmatrix} \) b) \( B^T =
\begin{bmatrix}
-2 \\
0 \\
1
\end{bmatrix} \) c) \( C^T =
\begin{bmatrix}
5 & 1 & 0 & 7 \\
-7 & -4 & -1 & -4
\end{bmatrix} \)
例子 2
矩阵 \( A \) 和 \( B \) 由下式给出 \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 0
\end{bmatrix} \) , \( B =
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix} \).
证明 \( (AB)^T = B^T A^T \) (验证上面的性质 2)。
解决方案
计算\(AB\)
\( AB =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 \\
1 \\
2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 \\
1
\end{bmatrix}
\)
计算 \( (AB)^T \)
\( (AB)^T = \begin{bmatrix}
3 &
1
\end{bmatrix} \)
确定\(A^T\)和\(B^T\)
\( A^T =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
0 & 2 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
\) , \( B^T = \begin{bmatrix}
-1 & 1 & 2
\end{bmatrix} \)
计算 \( B^T A^T \)
\( B^T A^T =
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \\
0 & 2 \\
1 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
3 &
1
\end{bmatrix} \)
因此 \( (AB)^T = B^T A^T \)
例子 3
设矩阵 \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
1 & 2
\end{bmatrix} \)
显示那 \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \) (验证上面的属性 5).
解决方案
计算\(A^T\)
\( A^T =
\begin{bmatrix}
-1 & 1\\
0 & 2
\end{bmatrix} \)
使用逆矩阵的公式
一个\( 2 \times 2 \) 矩阵\( \begin{bmatrix}
x & y \\
z & w \\
\end{bmatrix}^{-1} = \dfrac{1}{xw - yz}
\begin{bmatrix}
w & - y \\
- z & x \\
\end{bmatrix} \) to find \( (A^T)^{-1} \)
\( (A^T)^{-1} = -\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix}
2 & 0\\
1 & -1
\end{bmatrix} \)
\( \quad \quad =
\begin{bmatrix}
-1 & 0\\
-\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}
\end{bmatrix} \)
使用上面给出的 \( 2 \times 2 \) 矩阵的逆矩阵的相同公式来找到 \( A^{-1} \)
\( A^{-1} = -\dfrac{1}{2}
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
0 & -1
\end{bmatrix}
\)
\( \quad \quad = \begin{bmatrix}
-1 & -\dfrac{1}{2}\\
0 & \dfrac{1}{2}
\end{bmatrix} \)
我们现在计算 \( (A^{-1}) ^T \)
\( (A^{-1}) ^T =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
-\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2}
\end{bmatrix} \)
因此我们得出结论 \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \).
例子 4
设矩阵 \( A =
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1\\
1 & 2 & 2 \\
-2 & 0 & 1
\end{bmatrix} \)
证明 \( Det(A^T) = Det(A) \) (验证上面的属性 6)
解决方案
使用上面一行计算 \( Det(A) \)
使用上面一行计算 \( Det(A) \) \( Det(A) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 (0 - 2(-2) ) = 2 \)
计算 \( A^T \)
\( A^T
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & -2 \\
0 & 2 & 0 \\
1 & 2 & 1
\end{bmatrix}
\)
使用最左边的列计算 \( Det(A^T) \)
\( Det(A^T) = -1 ( 2 \times 1 - 0) + 1 ( 0 - 2(-2)) = 2 \)
因此我们得出结论 \( Det(A^T) = Det(A) \)
例子 5
使用上面的属性 7 可以证明矩阵 \( A =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 3\\
-1 & 2 & 5 \\
3 & -5 & 1
\end{bmatrix} \) 不是对称矩阵。
解决方案
计算\(A^T\)
\( A^T =
\begin{bmatrix}
0 & -1 & 3 \\
-1 & 2 & -5 \\
3 & 5 & 1
\end{bmatrix}
\)
我们可以验证 \( A_{2,3} = 5 \) 处的条目和 \( A^T_{2,3} = - 5 \) 处的条目,因此矩阵 \( A^T \) 和 \ ( A \) 不相等,这意味着矩阵 \( A \) 不对称。
问题 (以下给出解决方案) (Problems)
-
第1部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \),计算并证明矩阵 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 都是对称的。
-
第2部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} \) 和 \( B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} \) ,求矩阵 \( (A+B)^T \)
-
第3部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \). 证明 \( A A^T = A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 因此 \( A^{-1} = A^T \)。
上述问题的解决方案 (Solutions to the above problems)
-
第1部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \).
评估 \( A^T \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \)
评估 \( A^T A \)
\( A^T A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3\\ 1 & 1 & -3\\ -3 & -3 & 9 \end{bmatrix} \)
计算 \( A A^T \)
\( A A^T = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & -1\\ -1 & 1 \end{bmatrix} \)
两个矩阵 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 都是对称的。
-
第2部分
计算 \( A+B \)
\( A+B = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ - 1 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)
请注意,矩阵 \( A+B \) 是对称的,因此
\( (A + B)^T = A + B = \begin{bmatrix} -5 & 1\\ 1 & -1 \end{bmatrix}\)
-
第3部分
给定矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)
评价 \( A^T \)
\( A^T = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}\\ \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} &- \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)
计算\( A A^T \)
\( A A^T = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}\\ \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} &- \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)
\( \quad \quad = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
计算 \( A^T A\)
\( A^T A = \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{\sqrt 5}\\ \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} \\ \dfrac{2}{3} & \dfrac{2}{3} &- \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & \dfrac{5}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{1}{\sqrt 5} & - \dfrac{4}{3 \sqrt 5} & \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{\sqrt 5} & \dfrac{2}{3 \sqrt 5} & - \dfrac{1}{3} \end{bmatrix} \)
\( \quad \quad = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)
结果表明 \( A A^T = A^T A = I_3 \) 并且根据定义 逆矩阵, \( A^{-1} = A^T\)。
请注意,这些类型的矩阵称为 正交矩阵。
更多参考资料和链接
-
带有示例的矩阵和带有解决方案的问题.
-
对称矩阵 .
-
方阵的行列式 .
-
逆矩阵问题及解答.
- Elementary Linear Algebra (初等线性代数) - 7 th Edition - Howard Anton and Chris Rorres
- Introduction to Linear Algebra (线性代数导论) - Fifth Edition (2016) - Gilbert Strang
- Linear Algebra Done Right (线性代数做得对) - third edition, 2015 - Sheldon Axler
- Linear Algebra with Applications (线性代数及其应用) - 2012 - Gareth Williams