矩阵的转置

矩阵的转置通过交换其行和列得到。本页介绍定义、关键性质、已解答示例以及带详细解答的练习题。

矩阵转置的定义

如果 \( M \) 是 \( m \times n \) 矩阵，则 \( M \) 的转置，记为 \( M^T \)，是通过交换 \( M \) 的行和列得到的 \( n \times m \) 矩阵。

\( M^T \) 的行是 \( M \) 的列，\( M^T \) 的列是 \( M \) 的行。

关键思想。 转置两次得到原矩阵：\((A^T)^T = A\)。转置运算是一种对合——它是自身的逆。

(a) 行矩阵转置为列矩阵

\( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 3 \end{bmatrix} \) 的大小为 \( 1 \times 3 \)。其转置是 \( 3 \times 1 \) 列矩阵：

\[ A^T = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}. \]

(b) 列矩阵转置为行矩阵

\( B = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} \) 的大小为 \( 4 \times 1 \)。其转置是 \( 1 \times 4 \) 行矩阵：

\[ B^T = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 & 4 \end{bmatrix}. \]

(c) \( 2 \times 3 \) 矩阵转置为 \( 3 \times 2 \) 矩阵

\[ C = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad C^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}. \]

(d) \( 3 \times 3 \) 方阵

\[ D = \begin{bmatrix} 2 & -5 & 9 \\ -7 & 0 & 9 \\ 1 & -2 & 11 \end{bmatrix} \quad\Longrightarrow\quad D^T = \begin{bmatrix} 2 & -7 & 1 \\ -5 & 0 & -2 \\ 9 & 9 & 11 \end{bmatrix}. \]

矩阵转置的性质

  1. \( (A^T)^T = A \)
  2. \( (AB)^T = B^T A^T \)
  3. \( (A + B)^T = A^T + B^T \)
  4. \( (kA)^T = k A^T \)，其中 \( k \) 是标量。
  5. \( (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T \)（当 \( A \) 可逆时）。
  6. \( \det(A^T) = \det(A) \)
  7. \( A^T = A \) 当且仅当 \( A \) 是对称矩阵。
  8. \( A^{-1} = A^T \) 当且仅当 \( A \) 是正交（方）矩阵。
  9. 对于任意矩阵 \( A \)，乘积 \( A^T A \) 和 \( A A^T \) 都是对称的。
  10. \( \operatorname{tr}(A^T) = \operatorname{tr}(A) \)，其中 \( \operatorname{tr} \) 表示迹（对角元素之和）。
为什么 \((AB)^T = B^T A^T\) 中顺序反转。 要使 \( AB \) 有定义，\( A \) 的列数必须等于 \( B \) 的行数。转置后，\( B^T \) 的列数必须等于 \( A^T \) 的行数，因此顺序反转。
复矩阵。 对于复矩阵，相关运算是共轭转置 \( A^H = \overline{A^T} \)，这对于定义 Hermitian 矩阵和酉矩阵至关重要。

示例与解答

例 1 — 求矩阵的转置

求每个矩阵的转置：

a) \( A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \)

b) \( B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

c) \( C = \begin{bmatrix} 5 & -7 \\ 1 & -4 \\ 0 & -1 \\ 7 & -4 \end{bmatrix} \)

解答

a) \( A^T = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)

b) \( B^T = \begin{bmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)

c) \( C^T = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 & 7 \\ -7 & -4 & -1 & -4 \end{bmatrix} \)

例 2 — 证明 \((AB)^T = B^T A^T\)

给定 \(A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\) 和 \(B = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)，证明 \((AB)^T = B^T A^T\)。

解答

\[ AB = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad (AB)^T = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix}. \]

\[ A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \qquad B^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix}. \]

\[ B^T A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \end{bmatrix}. \]

因此 \((AB)^T = B^T A^T\)。

例 3 — 证明 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)

给定 \(A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)，验证 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)。

解答

\[ A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. \]

\[ (A^T)^{-1} = \frac{1}{(-1)(2) - (1)(0)} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & \tfrac{1}{2} \\ 0 & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix}. \]

\[ A^{-1} = \frac{1}{(-1)(2) - (0)(1)} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix}. \]

\[ (A^{-1})^T = \begin{bmatrix} -1 & \tfrac{1}{2} \\ 0 & \tfrac{1}{2} \end{bmatrix}. \]

因此 \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\)。

例 4 — 证明 \(\det(A^T) = \det(A)\)

给定 \(A = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)， 验证 \(\det(A^T) = \det(A)\)。

解答

沿第 1 行展开：

\[ \det(A) = (-1)\det\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - 0 + 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = (-1)(2) + (0 + 4) = -2 + 4 = 2. \]

\[ A^T = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}. \]

沿第 2 行展开（最简单，有两个零）：

\[ \det(A^T) = 2 \cdot \det\begin{bmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = 2 \cdot (-1 + 2) = 2. \]

因此 \(\det(A^T) = \det(A) = 2\)。

例 5 — 利用 \(A^T \neq A\) 证明矩阵不是对称的

证明以下矩阵不是对称的：

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & 5 \\ 3 & -5 & 1 \end{bmatrix}. \]

解答

\[ A^T = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3 \\ -1 & 2 & -5 \\ 3 & 5 & 1 \end{bmatrix}. \]

例如，\(A_{2,3} = 5\) 但 \((A^T)_{2,3} = -5\)。因此 \(A^T \neq A\)，所以 \(A\) 不是对称的。

习题与解答

问题 1 — \(A^T A\) 与 \(A A^T\) 的对称性

给定 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)，证明 \(A^T A\) 和 \(A A^T\) 都是对称的。

解答

\[ A^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}. \]

\[ A^T A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \\ -3 & -3 & 9 \end{bmatrix}, \qquad A A^T = \begin{bmatrix} 11 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}. \]

两个结果都是对称的。

问题 2 — 矩阵和的转置

给定 \(A = \begin{bmatrix} -5 & -2 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\) 和 \(B = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}\)，求 \((A+B)^T\)。

解答

\[ A+B = \begin{bmatrix} -5 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}. \]

由于 \(A+B\) 是对称的，\((A+B)^T = A+B\)。

问题 3 — 正交矩阵

设 \(A = \begin{bmatrix} 0 & \tfrac{5}{3\sqrt{5}} & \tfrac{2}{3} \\[4pt] \tfrac{1}{\sqrt{5}} & -\tfrac{4}{3\sqrt{5}} & \tfrac{2}{3} \\[4pt] \tfrac{2}{\sqrt{5}} & \tfrac{2}{3\sqrt{5}} & -\tfrac{1}{3} \end{bmatrix}\)。 证明 \(A A^T = A^T A = I_3\)，因此 \(A^{-1} = A^T\)。

解答

\(A\) 的行构成标准正交集：每行的范数为 1，任意两个不同行正交。因此

\[ A A^T = I_3. \]

\(A\) 的列也构成标准正交集，得到

\[ A^T A = I_3. \]

由于 \(A A^T = A^T A = I_3\)，我们得出 \(A^{-1} = A^T\)——这是正交矩阵的定义性质。

更多参考与链接