线性代数中向量的线性组合

将向量 \( \textbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix} \) 表示为向量 \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \) 的线性组合。

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解答

要使向量 \( \textbf{v} \) 是向量 \( \textbf{u}_1 \) 和 \( \textbf{u}_2 \) 的线性组合，我们需要找到标量 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，使得：

\[ \textbf{v} = r_1\textbf{u}_1 + r_2\textbf{u}_2 \]

将 \( \textbf{v}, \textbf{u}_1, \) 和 \( \textbf{u}_2 \) 替换为其分量，并进行标量乘法，得到方程：

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} \] \[ \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 - r_2 \\ r_1 + 2r_2 \end{bmatrix} \]

分量相等得到线性方程组：

\[ \begin{cases} r_1 - r_2 = 1 \\ r_1 + 2r_2 = 7 \end{cases} \]

由第一个方程，得到 \( r_1 = r_2 + 1 \)。将其代入第二个方程：

\[ (r_2 + 1) + 2r_2 = 7 \implies 3r_2 + 1 = 7 \implies 3r_2 = 6 \implies r_2 = 2 \]

现在将 \( r_2 = 2 \) 代回第一个方程：

\[ r_1 - 2 = 1 \implies r_1 = 3 \]

因此，线性组合为：

\[ \textbf{v} = 3\textbf{u}_1 + 2\textbf{u}_2 \]

验证： \( 3\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix} \) ✓

证明向量 \( \textbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} \) 不能表示为向量 \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \) 的线性组合。

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解答

我们需要证明不存在满足以下方程的标量 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)：

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix} \]

对等式右边的向量进行标量乘法和加法：

\[ \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_1 + 2r_2 \\ 2r_1 + 4r_2 \end{bmatrix} \]

这提供了以下线性方程组：

\[ \begin{cases} r_1 + 2r_2 = 1 \\ 2r_1 + 4r_2 = 3 \end{cases} \]

我们可以尝试使用消元法求解此方程组。将第一个方程乘以 \( -2 \)：

\[ \begin{cases} -2r_1 - 4r_2 = -2 \\ 2r_1 + 4r_2 = 3 \end{cases} \]

将两个方程相加：

\[ 0 = 1 \]

这是一个矛盾。方程组无解；因此，向量 \( \textbf{v} \) 不能表示为给定向量 \( \textbf{u}_1 \) 和 \( \textbf{u}_2 \) 的线性组合。

几何解释： 由于 \( \textbf{u}_2 = 2\textbf{u}_1 \)，两个向量都在过原点的同一条直线上。它们的张成空间只是那条直线，而 \( \textbf{v} \) 不在其上。

当 \( k \) 取何值时，向量 \( \textbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix} \) 可以表示为向量 \( \textbf{u}_1 = \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} k \\ 8 \end{bmatrix} \) 的线性组合？

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解答

我们需要找到 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 的值，使得：

\[ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix} = r_1 \begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} + r_2 \begin{bmatrix} k \\ 8 \end{bmatrix} \]

对等式右边的向量进行标量乘法和加法：

\[ \begin{bmatrix} -1 \\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3r_1 + kr_2 \\ 2r_1 + 8r_2 \end{bmatrix} \]

将其改写为方程组：

\[ \begin{cases} -3r_1 + kr_2 = -1 \\ 2r_1 + 8r_2 = 5 \end{cases} \]

要使该方程组对 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 有唯一解，系数矩阵的行列式必须非零：

\[ \text{Det} \begin{bmatrix} -3 & k \\ 2 & 8 \end{bmatrix} \ne 0 \]

计算行列式：

\[ (-3)(8) - (k)(2) = -24 - 2k \]

令行列式不等于零并解出 \( k \)：

\[ -24 - 2k \ne 0 \implies 2k \ne -24 \implies k \ne -12 \]

结论： 对于任意 \( k \ne -12 \)，向量 \( \textbf{v} \) 可以表示为给定向量 \( \textbf{u}_1 \) 和 \( \textbf{u}_2 \) 的线性组合。

当 \( k = -12 \) 时会发生什么？ 在这种情况下，\( \textbf{u}_2 = \begin{bmatrix} -12 \\ 8 \end{bmatrix} = 4\begin{bmatrix} -3 \\ 2 \end{bmatrix} = 4\textbf{u}_1 \)，所以两个向量线性相关，只张成一条直线。\( \textbf{v} \) 是否在该直线上决定了解是否存在。