线性代数中的向量空间 - 示例与解答
向量空间构成了线性代数的基础结构，将实数、向量、矩阵、多项式和函数等不同的数学对象统一在共同的代数定律和算法之下。
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向量空间简介
考虑以下代数方程：
- \( 2x + 3 = 7 \) （涉及实数的和与标量乘法）
- \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} -1 \\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ 14 \end{bmatrix} \) （涉及二维向量）
- \( \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 8 \end{bmatrix} \) （涉及 \( 2 \times 2 \) 矩阵）
- \( (2x^2 + 3x + 1) + 4(x^2 - x + 2) = 6x^2 - x + 9 \) （涉及多项式）
因为这些不同的数学对象遵循共同的加法和标量乘法定律，我们可以使用统一的算法求解它们以及许多其他复杂问题。根据代数性质对集合进行分类，可以简化跨矩阵、多项式、向量、几何平面和函数的问题求解。
向量空间的定义
在线性代数中，向量空间用大写字母（如 \( V \)）表示，其元素（称为向量）用粗体小写字母（如 \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \)）表示。
配备了加法（\( + \)）和标量乘法（\( \cdot \)）运算的非空集合 \( V \) 称为向量空间，如果它满足以下条件：
A) 封闭性公理：
- 加法封闭性： 对于任意 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \)，和 \( \mathbf{u} + \mathbf{v} \) 是 \( V \) 的元素。
- 标量乘法封闭性： 对于任意 \( \mathbf{u} \in V \) 和标量 \( r \in \mathbb{R} \)，乘积 \( r \cdot \mathbf{u} \) 是 \( V \) 的元素。
B) 代数公理： 对于任意 \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V \) 和标量 \( r, s \in \mathbb{R} \)：
- 向量加法的交换律： \( \mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} \)
- 向量加法的结合律： \( (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) \)
- 标量乘法的结合律： \( r \cdot (s \cdot \mathbf{u}) = (r \cdot s) \cdot \mathbf{u} \)
- 零向量的存在性： 存在零向量 \( \mathbf{0} \in V \)，使得对于所有 \( \mathbf{u} \in V \)，\( \mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u} \)。
- 负向量的存在性： 对于每个 \( \mathbf{u} \in V \)，存在负向量 \( -\mathbf{u} \in V \)，使得 \( \mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0} \)。
- 对标量加法的分配律： \( r \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = r \cdot \mathbf{u} + r \cdot \mathbf{v} \)
- 对标量加法的分配律： \( (r + s) \cdot \mathbf{u} = r \cdot \mathbf{u} + s \cdot \mathbf{u} \)
- 标量恒等律： \( 1 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{u} \)
注意： 向量空间的元素不必是二维或三维的几何向量；它们可以是矩阵、函数、多项式或微分方程的解。
向量空间的关键性质
以下性质直接由十条公理得出，在每个向量空间中都成立：
- 零向量的唯一性： \( V \) 中恰好有一个零向量 \( \mathbf{0} \)。
- 负向量的唯一性： 每个向量 \( \mathbf{u} \) 恰好有一个负向量 \( -\mathbf{u} \)。
- 零标量： 对于每个向量 \( \mathbf{u} \in V \)，\( 0 \cdot \mathbf{u} = \mathbf{0} \)。
- 零向量的标量乘法： 对于每个标量 \( r \)，\( r \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0} \)。
- 负标量： 对于每个向量 \( \mathbf{u} \in V \)，\( (-1) \cdot \mathbf{u} = -\mathbf{u} \)。
- 消去律： 如果 \( \mathbf{u} + \mathbf{w} = \mathbf{v} + \mathbf{w} \)，则 \( \mathbf{u} = \mathbf{v} \)。
注意： 子空间是向量空间的一个子集，它在继承的运算下本身也是一个向量空间。要验证子空间，只需检验加法封闭性、标量乘法封闭性以及零向量的存在性。
向量空间的示例
例 1：向量空间的标准示例
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例 2：证明 \( 2 \times 2 \) 矩阵构成向量空间
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证明所有 \( 2 \times 2 \) 矩阵的集合 \( V \)，配备标准矩阵加法和标量乘法，是向量空间。
解答
设 \( V \) 为所有形如 \( \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \) 的 \( 2 \times 2 \) 矩阵的集合，其中 \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \)。
1) 加法封闭性：
\[ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+a' & b+b' \\ c+c' & d+d' \end{bmatrix} \]两个 \( 2 \times 2 \) 矩阵的和是另一个 \( 2 \times 2 \) 矩阵，所以 \( V \) 对加法封闭。
2) 标量乘法封闭性：
\[ r \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ra & rb \\ rc & rd \end{bmatrix} \]标量倍数是 \( 2 \times 2 \) 矩阵，所以 \( V \) 对标量乘法封闭。
3) 交换律： 矩阵加法是实数的逐分量加法，满足交换律：
\[ \begin{bmatrix} a+a' & b+b' \\ c+c' & d+d' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a'+a & b'+b \\ c'+c & d'+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]4) 加法的结合律： 直接由实数加法的结合律得出。
5) 标量乘法的结合律： \( r(sA) = (rs)A \) 逐分量成立。
6) 零向量： 零矩阵 \( \mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \) 作为加法单位元。
7) 负向量： 对于任意矩阵 \( A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \)，负矩阵 \( -A = \begin{bmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{bmatrix} \) 满足 \( A + (-A) = \mathbf{0} \)。
8 & 9) 分配律： 由实数算术逐分量成立。
10) 标量恒等律： \( 1 \cdot A = A \)。
因此，\( V \) 满足所有 10 条公理，是向量空间。
例 3：连续函数构成向量空间
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证明在 \( (-\infty, \infty) \) 上连续的所有实值函数的集合在函数加法和标量乘法下构成向量空间。
解答
由微积分可知，如果 \( f \) 和 \( g \) 是 \( (-\infty, \infty) \) 上的连续函数，\( r \) 是实数：
- \( (f + g)(x) = f(x) + g(x) \) 在 \( (-\infty, \infty) \) 上连续。
- \( (rf)(x) = r \cdot f(x) \) 在 \( (-\infty, \infty) \) 上连续。
因此，加法封闭性和标量乘法封闭性成立。其余 8 条公理由实值函数算术自动满足。
例 4：次数 \( \le 3 \) 的多项式构成向量空间
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证明所有次数 \( n \le 3 \) 的多项式的集合构成向量空间。
解答
两个次数小于或等于 3 的多项式的和仍然是次数小于或等于 3 的多项式。类似地，将这样的多项式乘以实数保持次数小于或等于 3。代数公理对多项式算术成立，确认它是向量空间。
注意： 零多项式 \( P(x) = 0 \) 包含在该集合中，并作为零向量。
例 5：为什么次数为 4 的多项式不构成向量空间
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证明恰好次数为 \( n = 4 \) 的多项式的集合不是向量空间。
解答
要成为向量空间，集合必须对加法封闭。考虑以下两个次数为 4 的多项式：
\[ P(x) = -2x^4 + 3x^2 - 2x + 6, \quad Q(x) = 2x^4 - 5x^2 + 10 \]将它们相加：
\[ P(x) + Q(x) = (-2x^4 + 3x^2 - 2x + 6) + (2x^4 - 5x^2 + 10) = -5x^2 - 2x + 16 \]所得多项式的次数为 2，而不是 4。因为集合对加法不封闭，所以它不是向量空间。
额外问题： 该集合也缺少零向量，因为零多项式没有次数 4。
例 6：为什么整数集不是向量空间
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证明整数集在标准加法和标量乘法下不是向量空间。
解答
向量空间必须对任意实数的标量乘法封闭。设整数 \( x = -2 \)，实标量 \( r = \sqrt{3} \)：
\[ r \cdot x = \sqrt{3} \cdot (-2) = -2\sqrt{3} \]结果是无理数，不是整数。因此，整数集对标量乘法不封闭，不是向量空间。
常见问题
线性代数中的向量空间是什么？
向量空间是配备了加法和标量乘法的非空集合 \( V \)，满足十条公理：两条封闭性公理和八条代数公理（交换律、结合律、零向量、负向量、分配律和标量恒等律）。
向量空间的两条封闭性公理是什么？
两条封闭性公理是：(1) 加法封闭性： 对于 \( V \) 中的任意 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \)，\( \mathbf{u} + \mathbf{v} \in V \)。(2) 标量乘法封闭性： 对于 \( V \) 中的任意 \( \mathbf{u} \) 和标量 \( r \)，\( r \cdot \mathbf{u} \in V \)。
为什么整数集不是向量空间？
整数集不是向量空间，因为它对任意实数的标量乘法不封闭。例如，将整数 \( -2 \) 乘以实标量 \( \sqrt{3} \) 得到 \( -2\sqrt{3} \)，这不是整数。
多项式构成向量空间吗？
是的。所有次数小于或等于 \( n \) 的多项式的集合（对于固定的 \( n \)）构成向量空间，因为两个这样的多项式的和以及这样的多项式的任何标量倍数仍然是次数至多为 \( n \) 的多项式。
有哪些向量空间的例子？
常见的向量空间例子包括：实数 \( \mathbb{R} \)、复数 \( \mathbb{C} \)、\( n \) 维向量 \( \mathbb{R}^n \)、\( m \times n \) 矩阵、次数至多为 \( n \) 的多项式、区间上的连续函数以及齐次线性微分方程的解。
更多参考与链接
- 线性代数中的子空间
- 向量的线性组合
- 向量的张成空间
- 线性无关与线性相关向量
- 矩阵示例与习题解答
- 多项式
- 复数
- 矩阵的加法、减法与标量乘法
- 线性代数 - 问题与解答
- Linear Algebra and its Applications - 5th Edition - David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald
- Elementary Linear Algebra - 7th Edition - Howard Anton and Chris Rorres
- Introduction to Linear Algebra - 5th Edition (2016) - Gilbert Strang
- Linear Algebra Done Right - 3rd Edition (2015) - Sheldon Axler