线性代数中的标准正交基

标准正交基结合了两个重要性质：集合中的每个向量都是单位向量（长度或范数等于 1），且所有不同向量彼此正交。正交向量组本质上是线性无关的。

目录

标准正交基的定义

内积空间中的向量组 \( \{ \textbf{u}_1, \textbf{u}_2, \dots, \textbf{u}_n \} \) 称为标准正交集，如果：

  1. 单位向量（归一化）： 对所有 \( i \)，\( \|\textbf{u}_i\| = 1 \)
  2. 正交性： 当 \( i \neq j \) 时，\( \textbf{u}_i \cdot \textbf{u}_j = 0 \)

如果该集合还张成向量空间（构成基），则称为标准正交基。

标准正交基的性质

标准正交基具有若干重要性质，使其在线性代数中特别有用：

  1. 线性无关性： 任何标准正交集自动线性无关。
  2. 通过点积求坐标： 如果 \( \{ \textbf{u}_1, \dots, \textbf{u}_n \} \) 是标准正交基，则任何向量 \( \textbf{v} \) 可以写成 \( \textbf{v} = (\textbf{v} \cdot \textbf{u}_1)\textbf{u}_1 + \dots + (\textbf{v} \cdot \textbf{u}_n)\textbf{u}_n \)。
  3. 长度保持： 对于标准正交基，\( \|\textbf{v}\|^2 = \sum_{i=1}^{n} (\textbf{v} \cdot \textbf{u}_i)^2 \)。
  4. 唯一表示： 空间中的每个向量作为基向量的线性组合都有唯一的表示。
  5. 简化投影： 向量在标准正交基向量上的投影简化为 \( \text{proj}_{\textbf{u}_i}(\textbf{v}) = (\textbf{v} \cdot \textbf{u}_i)\textbf{u}_i \)。

注意： 格拉姆-施密特过程可以将任意基转换为标准正交基。

示例与解答

例 1：\( \mathbb{R}^3 \) 中的标准基

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证明标准单位向量 \( \textbf{i} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)， \( \textbf{j} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{k} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \) 构成标准正交基。

解答

首先，证明每对向量的内积等于 \( 0 \)：

\[ \textbf{i} \cdot \textbf{j} = (1)(0) + (0)(1) + (0)(0) = 0 \] \[ \textbf{i} \cdot \textbf{k} = (1)(0) + (0)(0) + (0)(1) = 0 \] \[ \textbf{j} \cdot \textbf{k} = (0)(0) + (1)(0) + (0)(1) = 0 \]

因此，三个向量互相正交（因而线性无关）。

接下来，证明每个向量的长度（范数）等于 \( 1 \)：

\[ \|\textbf{i}\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] \[ \|\textbf{j}\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \] \[ \|\textbf{k}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1} = 1 \]

由于向量互相正交且每个长度均为 \( 1 \)，它们构成 \( \mathbb{R}^3 \) 的标准正交基。

例 2：缩放向量以形成标准正交基

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a) 证明向量 \( \textbf{u} = K \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} \)， \( \textbf{v} = L \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{w} = M \begin{bmatrix} -2 \\ 10 \\ 1 \end{bmatrix} \)（其中 \( K, L, M \) 为实常数）正交。
b) 求常数 \( K, L, \) 和 \( M \) 的正值，使得 \( \textbf{u}, \textbf{v}, \) 和 \( \textbf{w} \) 构成标准正交基。

解答

a) 计算每对向量的内积：

\[ \textbf{u} \cdot \textbf{v} = KL[(1)(4) + (0)(1) + (2)(-2)] = KL(4 + 0 - 4) = 0 \] \[ \textbf{u} \cdot \textbf{w} = KM[(1)(-2) + (0)(10) + (2)(1)] = KM(-2 + 0 + 2) = 0 \] \[ \textbf{v} \cdot \textbf{w} = LM[(4)(-2) + (1)(10) + (-2)(1)] = LM(-8 + 10 - 2) = 0 \]

因此，对于任意实数 \( K, L, M \)，向量 \( \textbf{u}, \textbf{v}, \) 和 \( \textbf{w} \) 都正交。

b) 要使它们成为标准正交基，我们要求每个向量的范数等于 \( 1 \)：

对于 \( \textbf{u} \)：

\[ \|\textbf{u}\| = \sqrt{(K)^2 + 0^2 + (2K)^2} = \sqrt{K^2 + 4K^2} = \sqrt{5K^2} = |K|\sqrt{5} = 1 \]

由于 \( K \) 为正，\( K\sqrt{5} = 1 \implies K = \frac{1}{\sqrt{5}} \)。

对于 \( \textbf{v} \)：

\[ \|\textbf{v}\| = \sqrt{(4L)^2 + L^2 + (-2L)^2} = \sqrt{16L^2 + L^2 + 4L^2} = \sqrt{21L^2} = |L|\sqrt{21} = 1 \]

解出正的 \( L \)：\( L = \frac{1}{\sqrt{21}} \)。

对于 \( \textbf{w} \)：

\[ \|\textbf{w}\| = \sqrt{(-2M)^2 + (10M)^2 + (M)^2} = \sqrt{4M^2 + 100M^2 + M^2} = \sqrt{105M^2} = |M|\sqrt{105} = 1 \]

解出正的 \( M \)：\( M = \frac{1}{\sqrt{105}} \)。

使用这些值，\( \textbf{u}, \textbf{v}, \) 和 \( \textbf{w} \) 构成 \( \mathbb{R}^3 \) 的标准正交基。

例 3：证明三角向量构成标准正交基

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证明向量 \( \textbf{u} = \begin{bmatrix} \sin(\theta)\cos(\phi) \\ \sin(\theta)\sin(\phi) \\ \cos(\theta) \end{bmatrix} \)， \( \textbf{v} = \begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\phi) \\ \cos(\theta)\sin(\phi) \\ -\sin(\theta) \end{bmatrix} \) 和 \( \textbf{w} = \begin{bmatrix} -\sin(\phi) \\ \cos(\phi) \\ 0 \end{bmatrix} \) 构成标准正交基。

解答

在正交向量的例 6 中，已经证明 \( \textbf{u}, \textbf{v}, \) 和 \( \textbf{w} \) 互相正交。我们现在只需证明每个向量的范数等于 \( 1 \)。

1) \( \textbf{u} \) 的范数：

\[ \|\textbf{u}\| = \sqrt{(\sin(\theta)\cos(\phi))^2 + (\sin(\theta)\sin(\phi))^2 + (\cos(\theta))^2} \] \[ \|\textbf{u}\| = \sqrt{\sin^2(\theta)\cos^2(\phi) + \sin^2(\theta)\sin^2(\phi) + \cos^2(\theta)} \]

从前两项中提取 \( \sin^2(\theta) \)：

\[ \|\textbf{u}\| = \sqrt{\sin^2(\theta)[\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)] + \cos^2(\theta)} \]

使用恒等式 \( \cos^2(\phi) + \sin^2(\phi) = 1 \)：

\[ \|\textbf{u}\| = \sqrt{\sin^2(\theta)(1) + \cos^2(\theta)} = \sqrt{\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta)} = \sqrt{1} = 1 \]

2) \( \textbf{v} \) 的范数：

\[ \|\textbf{v}\| = \sqrt{(\cos(\theta)\cos(\phi))^2 + (\cos(\theta)\sin(\phi))^2 + (-\sin(\theta))^2} \] \[ \|\textbf{v}\| = \sqrt{\cos^2(\theta)\cos^2(\phi) + \cos^2(\theta)\sin^2(\phi) + \sin^2(\theta)} \]

从前两项中提取 \( \cos^2(\theta) \) 并应用三角恒等式：

\[ \|\textbf{v}\| = \sqrt{\cos^2(\theta)[\cos^2(\phi) + \sin^2(\phi)] + \sin^2(\theta)} = \sqrt{\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)} = 1 \]

3) \( \textbf{w} \) 的范数：

\[ \|\textbf{w}\| = \sqrt{(-\sin(\phi))^2 + (\cos(\phi))^2 + 0^2} = \sqrt{\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi)} = 1 \]

由于向量互相正交且每个范数为 \( 1 \)，它们构成标准正交基。几何上，这些向量对应于球坐标中的标准正交基。

常见问题

什么是标准正交基？

标准正交基是一组向量，它们彼此正交（垂直），每个向量的长度（范数）为 1，并且张成整个向量空间。

正交和标准正交有什么区别？

正交向量彼此垂直（点积等于零）。标准正交向量是正交的，并且每个向量的长度为 1。

如何归一化一个向量？

要归一化一个向量，将其除以其范数（长度）：\( \hat{\textbf{u}} = \frac{\textbf{u}}{\|\textbf{u}\|} \)。所得向量的长度为 1，方向相同。

标准正交基为什么有用？

标准正交基简化了许多计算：求坐标只需点积，投影更容易计算，数值稳定性得到提高。

如何将任意基转换为标准正交基？

格拉姆-施密特过程将任意基转换为正交基，然后可以归一化得到标准正交基。

更多参考与链接