质因数分解 - 六年级

本页面为六年级学生提供关于质因数分解的综合课程、示例和练习题。每个练习题都包含带有详细解释的分步解答。

在深入学习之前，强烈建议复习因数和倍数的基础知识。展开每个问题下方的解答选项卡以验证您的作业并理解其中的底层逻辑。

概念与示例

1. 质数

定义：质数是指严格大于 1 的整数，它恰好有两个不同的因数：1 和它本身。

2. 合数

定义：合数是指严格大于 1 的整数，它拥有两个以上的因数（除了 1 和它本身之外，还能被其他数字整除）。

3. 因数分解

定义：对一个整数进行因数分解，就是把它写成两个或多个整数的乘积。除法和乘法密切相关；除法 \(6 \div 3 = 2\) 可以重写为乘法 \(6 = 2 \times 3\)。

4. 质因数分解

定义：质因数分解是将合数严格写成质数乘积的过程。

如何求 12 的质因数分解？

  1. 测试最小的质数 2。\(12 \div 2 = 6\)。所以，\(12 = 2 \times 6\)。
  2. 由于 6 是合数，再次对其测试。\(6 \div 2 = 3\)。所以，\(6 = 2 \times 3\)。
  3. 将它们组合起来：\(12 = 2 \times 2 \times 3\)。由于 2 和 3 都是质数，分解完成。

如何求 21 的质因数分解？

  1. 测试 2：\(21 \div 2\) 有余数。2 不是因数。
  2. 测试下一个质数 3：\(21 \div 3 = 7\)。所以，\(21 = 3 \times 7\)。
  3. 由于 3 和 7 都是质数，其质因数分解为 \(3 \times 7\)。

练习题

问题 1：质数与合数

对于下面的每个数字，判断它是质数还是合数，并解释你的理由。

  1. 9
  2. 11
  3. 16
  4. 22
  5. 39
  6. 41
  7. 49
  8. 57
查看解答
提示：质数恰好有 2 个因数：1 和它本身。合数有 3 个或更多因数。
  • a) 9：合数。\(9 = 3 \times 3\)。它有 3 个因数：1、3、9。
  • b) 11：质数。它只有 2 个因数：1 和 11。
  • c) 16：合数。\(16 = 4 \times 4 = 2 \times 8\)。它有 5 个因数：1、2、4、8、16。
  • d) 22：合数。\(22 = 2 \times 11\)。它有 4 个因数：1、2、11、22。
  • e) 39：合数。\(39 = 3 \times 13\)。它有 4 个因数：1、3、13、39。
  • f) 41：质数。它只有 2 个因数：1 和 41。
  • g) 49：合数。\(49 = 7 \times 7\)。它有 3 个因数：1、7、49。
  • h) 57：合数。\(57 = 3 \times 19\)。它有 4 个因数：1、3、19、57。

问题 2：识别质因数分解

下列哪个数学陈述表示正确的质因数分解？请解释原因。

  1. \(8 = 2 \times 4\)
  2. \(10 = 2 \times 5\)
  3. \(20 = 2 \times 10\)
  4. \(30 = 2 \times 3 \times 5\)
  5. \(38 = 2 \times 19\)
  6. \(42 = 2 \times 3 \times 7\)
  7. \(56 = 2 \times 2 \times 14\)
  8. \(75 = 3 \times 25\)
  9. \(80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\)
  10. \(100 = 2 \times 2 \times 25\)
查看解答
提示：真正的质因数分解必须仅由相乘的质数组成。
方程 是质因数分解吗？ 原因
a) \(8 = 2 \times 4\) 否 因数 4 是合数。
b) \(10 = 2 \times 5\) 是 2 和 5 都是质数。
c) \(20 = 2 \times 10\) 否 因数 10 是合数。
d) \(30 = 2 \times 3 \times 5\) 是 所有因数（2、3、5）都是质数。
e) \(38 = 2 \times 19\) 是 2 和 19 都是质数。
f) \(42 = 2 \times 3 \times 7\) 是 所有因数（2、3、7）都是质数。
g) \(56 = 2 \times 2 \times 14\) 否 因数 14 是合数。
h) \(75 = 3 \times 25\) 否 因数 25 是合数。
i) \(80 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 5\) 是 所有因数（2 和 5）都是质数。
j) \(100 = 2 \times 2 \times 25\) 否 因数 25 是合数。

问题 3：计算质因数分解

求下列每个整数的质因数分解。你可以使用指数来简化你的最终答案。

  1. 8
  2. 18
  3. 24
  4. 45
  5. 63
  6. 88
  7. 96
查看解答

质因数分解是通过使用质数（2、3、5、7...）连续除法来进行的：

  • a) 8
    \(8 = 2 \times 4 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2}\)（或 \(2^3\)）
  • b) 18
    \(18 = 2 \times 9 \rightarrow \mathbf{2 \times 3 \times 3}\)（或 \(2 \times 3^2\)）
  • c) 24
    \(24 = 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 6 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 3}\)（或 \(2^3 \times 3\)）
  • d) 45
    \(45 = 3 \times 15 \rightarrow \mathbf{3 \times 3 \times 5}\)（或 \(3^2 \times 5\)）
  • e) 63
    \(63 = 7 \times 9 \rightarrow \mathbf{3 \times 3 \times 7}\)（或 \(3^2 \times 7\)）
  • f) 88
    \(88 = 2 \times 44 = 2 \times 2 \times 22 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 11}\)（或 \(2^3 \times 11\)）
  • g) 96
    \(96 = 2 \times 48 = 2 \times 2 \times 24 = 2 \times 2 \times 2 \times 12 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 6 \rightarrow \mathbf{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3}\)（或 \(2^5 \times 3\)）

更多参考与链接