质因数分解 - 六年级

质数

示例 1

2是质数，为什么？

2可以被1整除     2 ÷ 1 = 2，余数为零

2可以被它自身（2）整除     2 ÷ 2 = 1，余数为零

尝试找出另一个能整除2且余数为零的整数。不存在这样的数。

示例 2

7是质数，为什么？

7可以被1整除     7 ÷ 1 = 7，余数为零

7可以被它自身（7）整除     7 ÷ 7 = 1，余数为零

尝试找出另一个能整除7且余数为零的整数。不存在这样的数。

前10个质数是： 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

你可以生成更多质数并进行测试。

合数

定义：除了1和它自身之外，还能被其他整数（余数为零）整除的整数称为合数。

4是合数，为什么？

4可以被1、它自身和2整除。

6是合数，为什么？

6可以被1、它自身、2和3整除。

12是合数：它可以被1、它自身、2、3、4和6整除。

30是合数：它可以被1、它自身、2、3、5、6、10和15整除。

因数分解

从除法到乘法，再到因数分解。

除法和乘法是相关的运算。

除法 6 ÷ 3 = 2 可以写成乘法形式：6 = 2 × 3

示例

1) 6 = 1 × 6 ; 6 = 2 × 3     1, 2, 3 和 6 被称为 6 的因数。

2) 12 = 12 ×1 = 3 ×4 = 6 ×2     1, 2, 3, 4, 6 和 12 被称为 12 的因数。

3) 20 = 1 × 20 = 2 ×10 = 2 × 2 × 5 = 4 × 5     1, 2, 4, 5, 10 和 20 被称为 20 的因数。

质因数分解

示例

1) 6 = 2 × 3     因数 2 和 3 都是质数。

2) 12 = 2 × 2 × 3     因数 2 和 3 都是质数。

3) 20 = 2 × 2 × 5     因数 2 和 5 都是质数。

示例 1

写出 12 的质因数分解式

1) 检查第一个质数 2 是否是给定数字 12 的因数

12 ÷ 2 = 6，余数 = 0        2 是 12 的因数        12 = 2 × 6

2) 检查第一个质数 2 是否是 6 的因数

6 ÷ 2 = 3，余数 = 0        2 是 6 的因数        6 = 2 × 3        因此 12 = 2 × 6 = 2 × 2 × 3

12 = 2 × 2 × 3 是完全使用质数 2 和 3 进行的分解。

示例 2

写出 21 的质因数分解式

1) 检查第一个质数 2 是否是给定数字 21 的因数

21 ÷ 2 = 10 但余数 = 1，所以 2 不是 21 的因数。

2) 下一个质数 3 是 21 的因数吗？

21 ÷ 3 = 7，余数 = 0        3 是 21 的因数        21 = 3 × 7

3 和 7 都是质数，因此 21 = 3 × 7 是完全使用质数 3 和 7 进行的分解。

可以使用这个质因数计算器来生成给定数字的所有质因数。

回答下列问题

1. 判断下列数字哪些是质数，哪些是合数？并解释。
   
   1. 9

   2. 11

   3. 16

   4. 22

   5. 39

   6. 41

   7. 49

   8. 57
2. 以下哪些是质因数分解式？
   
   1. 8 = 2 × 4

   2. 10 = 2 × 5

   3. 20 = 2 × 10

   4. 30 = 2 × 3 × 5

   5. 38 = 2 × 19

   6. 42 = 2 × 3 × 7

   7. 56 = 2 × 2 × 14

   8. 75 = 3 ×25

   9. 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5

   10. 100 = 2 × 2 × 25
3. 写出下列整数的质因数分解式。
   
   1. 8

   2. 18

   3. 24

   4. 45

   5. 63

   6. 88

   7. 96

上述问题的解答

1. 
   
   质数只有 2 个因数：1 和它自身。合数有 3 个或更多个因数。
   1. 9 是合数，因为 9 = 3 × 3，它有 3 个因数：1、3 和它自身。

   2. 11 是质数，因为 它只有 2 个因数：1 和它自身。

   3. 16 是合数，因为 16 = 4 × 4 = 2 × 8，它有 5 个因数：1、2、4、8 和它自身。

   4. 22 是合数，因为 22 = 2 × 11，它有 4 个因数：1、2、11 和它自身。

   5. 39 是合数，因为 39 = 3 × 13，它有 4 个因数：1、3、13 和它自身。

   6. 41 是质数，因为 它只有 2 个因数：1 和它自身。

   7. 49 是合数，因为 49 = 7 × 7，它有 3 个因数：1、7 和它自身。

   8. 57 是合数，因为 57 = 3 × 19，它有 4 个因数：1、3、19 和它自身。
2. 
   质因数分解式只包含质数。
   1. 8 = 2 × 4           因数 4 不是质数，因此这不是质因数分解。

   2. 10 = 2 × 5           因数 2 和 5 都是质数，因此这是质因数分解。

   3. 20 = 2 × 10           因数 10 不是质数，因此这不是质因数分解。

   4. 30 = 2 × 3 × 5 ;           因数 2、3 和 5 都是质数，因此这是质因数分解。

   5. 38 = 2 × 19           因数 2 和 19 都是质数，因此这是质因数分解。

   6. 42 = 2 × 3 × 7           因数 2、3 和 7 都是质数，因此这是质因数分解。

   7. 56 = 2 × 2 × 14           因数 14 不是质数，因此这不是质因数分解。

   8. 75 = 3 × 25           因数 25 不是质数，因此这不是质因数分解。

   9. 80 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5           因数 2 和 5 都是质数，因此这是质因数分解。

   10. 100 = 4 × 25           两个因数都是合数；这不是质因数分解。
3. 
   质因数分解通过连续用质数相除来完成。
   1. 8 = 2 × 4 = 2 × 2 × 2

   2. 18 = 2 × 9 = 2 × 3 × 3

   3. 24 = 2 × 12 = 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3

   4. 45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5

   5. 63 = 7 × 9 = 7 × 3 × 3

   6. 88 = 2 × 44 = 2 × 2 × 22 = 2 × 2 × 2 × 11

   7. 96 = 2 × 48 = 2 × 2 × 24 = 2 × 2 × 2 × 12 = 2 × 2 × 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3

参考资料