使用同类项简化代数表达式 - 六年级

本页提供六年级代数中关于加减同类项的例题和练习题。练习题附有详细的分步解答和清晰解释，以帮助学生掌握简化表达式的技巧。

回顾：同类项与简化

在代数表达式中，同类项是指所有具有相同变量且该变量指数也相同的项。

例题：同类项

1) \( 2x , \; 4x , \; x , \; \text{和 } 10x \) 都是同类项，它们的系数分别是 \( 2, \; 4, \; 1, \; \text{和 } 10 \)。

注意：同类项的系数可以不同，但变量的指数必须相同（本例中变量 \( x \) 的指数均为 1）。

2) 在代数表达式： \[ 2x + 7x - 6 + 4x^{2} - 6x , \] 中，项 \( 2x, \; 7x, \; \text{和 } -6x \) 都是同类项，因为它们具有相同的变量 \( x \) 且指数均为 \( 1 \)。

同类项很重要，因为它们可以相加和相减，从而简化代数表达式。

我们通过加减它们的系数来合并同类项。


例题：简化代数表达式

3) 通过加减法简化表达式：\[ 3 x + 10 + 5 x - 6 x - 4 \]

已知 \[ 3 x + 10 + 5 x - 6 x - 4\] 使用括号将同类项分组 \[ = (3 x + 5 x - 6 x) + (10 - 4) \] 识别系数并将变量提到括号外（因式分解） \[ = (3 + 5 - 6) x + (10 - 4) \] 加减系数和常数以简化 \[ = 2 x + 6 \]
4) 使用分配律，然后加减法简化表达式 \( 2(x - 3) + 3(x + 1) \)

使用分配律展开 \( 2(x - 3) \) 和 \( 3(x + 1) \) ： \[ 2(x - 3) = (2)(x) + (2)(-3) = 2 x - 6 \] \[ 3(x + 1) = (3)(x) + (3)(1) = 3 x + 3 \] 现在使用上述结果写出整个表达式： \[ 2(x - 3) + 3(x + 1) = 2 x - 6 + 3 x + 3 \] 合并同类项： \[ = (2 x + 3 x) + ( - 6 + 3 ) = ( 2 + 3) x + ( - 6 + 3 ) = 5 x - 3 \] 注意：所有实数都是同类项，因为它们可以相加和相减。


解答以下问题（解答见页面底部）


  1. 在以下每个表达式中，哪些是同类项？它们的系数是什么？
    1. \( 7 x - 5 x + 6 + 3x \)
    2. \( 6 x + 11 x + 9 + x - 7 \)
    3. \( 3 x + 9 y + 9 x - y \)
    4. \( \dfrac{1}{3} x + (2/3) x - 3 \)

  2. 简化以下表达式。
    1. \( 2 x + x \)
    2. \( 12 x - 5 x + 11 - 4 x \)
    3. \( 9 x + 11 x + 19 - x - 7 \)
    4. \( 4 x + 8 y + 10 x - 3 y \)
    5. \( x + 5 + 3 y + 6 x - x - 2 y + 6 \)
    6. \( \dfrac{1}{2} x + \dfrac{3}{2} x + 2 \)

  3. 简化以下表达式，并找出具有相同项（等价表达式）的表达式。
    1. \( 3 x + 3 + 4 x + 2 \)
    2. \( 4 x + 2 a + 6 x + 6a \)
    3. \( x + 2 + 3 x + 3 x + 3 \)
    4. \( x - x + 3 y \)
    5. \( 7 a + 10 x + a \)
    6. \( 4 x + 3 y - 4 x \)

  4. 使用分配律，然后简化以下表达式。
    1. \( 3 (x + 1) + 5 x - 4 \)
    2. \( 3 (x - 1) + 2 (x + 2) + 5 x \)
    3. \( 4 (x + 2) + 2 (y + 2) + x + 3 y \)
    4. \( 3 (\dfrac{x}{3} + 1) + 2 (\dfrac{x}{2} - 1) + 3 \)

以上问题的解答

  1. 解答


    同类项具有相同的变量且该变量的指数相同。因此
    1. 在表达式 \( 7x - 5x + 6 + 3x \) 中，项 \( 7x \), \( -5x \), 和 \( 3x \) 是同类项。 同类项 \( 7x \), \( -5x \), 和 \( 3x \) 的系数分别是 \( 7 \), \( -5 \), 和 \( 3 \)。
    2. 在表达式 \( 6x + 11x + 9 + x - 7 \) 中，项 \( 6x \), \( 11x \), 和 \( x \) 是同类项； \( 9 \) 和 \( -7 \) 是常数，因此也是同类项。 同类项 \( 6x \), \( 11x \), 和 \( x \) 的系数分别是 \( 6 \), \( 11 \), 和 \( 1 \)。 常数项是 \( 9 \) 和 \( -7 \)。
    3. 在表达式 \( 3x + 9y + 9x - y \) 中，有两组同类项： 1) \( 3x \) 和 \( 9x \) 是同类项。 2) \( 9y \) 和 \( -y \) 是同类项。 第(1)组中同类项 \( 3x \) 和 \( 9x \) 的系数分别是 \( 3 \) 和 \( 9 \)。 第(2)组中同类项 \( 9y \) 和 \( -y \) 的系数分别是 \( 9 \) 和 \( -1 \)。
    4. 在表达式 \( \tfrac{1}{3}x + \tfrac{2}{3}x - 3 \) 中，项 \( \tfrac{1}{3}x \) 和 \( \tfrac{2}{3}x \) 是同类项，它们的系数分别是 \( \tfrac{1}{3} \) 和 \( \tfrac{2}{3} \)。

  2. 解答

    要简化代数表达式，我们首先分组，然后加减同类项的系数（参见上面的例题）。
    1. 给定： \[ 2x + x \] 识别系数并提取公因式： \[ (2 + 1)x \] 简化： \[ 3x \]
    2. 给定： \[ 12x - 5x + 11 - 4x \] 合并同类项： \[ (12x - 5x - 4x) + 11 \] 提取 \(x\)： \[ (12 - 5 - 4)x + 11 \] 简化： \[ 3x + 11 \]
    3. 给定： \[ 9x + 11x + 19 - x - 7 \] 合并同类项： \[ (9x + 11x - x) + (19 - 7) \] 提取 \(x\)： \[ (9 + 11 - 1)x + (19 - 7) \] 简化： \[ 19x + 12 \]
    4. 给定表达式有两个变量： \[ 4x + 8y + 10x - 3y \] 合并同类项： \[ (4x + 10x) + (8y - 3y) \] 提取 \(x\) 和 \(y\)： \[ (4 + 10)x + (8 - 3)y \] 简化： \[ 14x + 5y \]
    5. 给定表达式有两个变量： \[ x + 5 + 3y + 6x - x - 2y + 6 \] 合并同类项： \[ (x + 6x - x) + (3y - 2y) + (5 + 6) \] 提取 \(x\) 和 \(y\)： \[ (1 + 6 - 1)x + (3 - 2)y + (5 + 6) \] 简化： \[ 6x + y + 11 \]
    6. 给定表达式含有分数： \[ \tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}x + 2 \] 合并同类项： \[ \left(\tfrac{1}{2}x + \tfrac{3}{2}x\right) + 2 \] 提取 \(x\)： \[ \left(\tfrac{1}{2} + \tfrac{3}{2}\right)x + 2 \] 简化： \[ \tfrac{4}{2}x + 2 = x + 2 \]


  3. 解答


    我们首先简化给定的表达式（参见练习2 above）
    1. \(3x + 3 + 4x + 2 = (3x + 4x) + (3 + 2) = (3 + 4)x + (3 + 2) = 7x + 5\)
    2. \(4x + 2a + 6x + 6a = (4x + 6x) + (2a + 6a) = (4 + 6)x + (2 + 6)a = 10x + 8a\)
    3. \(x + 2 + 3x + 3x + 3 = (x + 3x + 3x) + (2 + 3) = (1 + 3 + 3)x + (2 + 3) = 7x + 5\)
    4. \(x - x + 3y = (1 - 1)x + 3y = 0x + 3y = 0 + 3y = 3y\)
    5. \(7a + 10x + a = (7a + a) + 10x = (7 + 1)a + 10x = 8a + 10x\)
    6. \(4x + 3y - 4x = (4x - 4x) + 3y = (4 - 4)x + 3y = 0x + 3y = 0 + 3y = 3y\)

    结论
    部分 a) 和 c) 中的表达式是等价的；
    部分 b) 和 e) 中的表达式是等价的
    部分 d) 和 f) 中的表达式是等价的。

  4. 解答

    我们首先使用分配律去掉括号，然后简化。

    1. 给定： \[ 3 (x + 1) + 5x - 4 \] 使用分配律进行乘法： \[ = (3)(x) + (3)(1) + 5x - 4 \] 乘法并简化： \[ = 3x + 3 + 5x - 4 \] 使用括号将同类项分组： \[ = (3x + 5x) + (3 - 4) \] 识别系数并提取 \( x \)： \[ = (3 + 5)x + (3 - 4) \] 简化： \[ = 8x - 1 \]
    2. 给定： \[ 3 (x - 1) + 2 (x + 2) + 5x \] 使用分配律进行乘法： \[ = (3)(x) + (3)(-1) + (2)(x) + (2)(2) + 5x \] 乘法并简化： \[ = 3x - 3 + 2x + 4 + 5x \] 使用括号将同类项分组： \[ = (3x + 2x + 5x) + (-3 + 4) \] 识别系数并提取 \( x \)： \[ = (3 + 2 + 5)x + (-3 + 4) \] 简化： \[ = 10x + 1 \]
    3. 给定： \[ 4 (x + 2) + 2 (y + 2) + x + 3y \] 使用分配律进行乘法： \[ = (4)(x) + (4)(2) + (2)(y) + (2)(2) + x + 3y \] 乘法并简化： \[ = 4x + 8 + 2y + 4 + x + 3y \] 使用括号将同类项分组： \[ = (4x + x) + (2y + 3y) + (8 + 4) \] 识别系数并提取变量： \[ = (4 + 1)x + (2 + 3)y + (8 + 4) \] 简化： \[ = 5x + 5y + 12 \]
    4. 给定： \[ 3 \left(\dfrac{x}{3} + 1\right) + 2 \left(\dfrac{x}{2} - 1\right) + 3 \] 使用分配律进行乘法： \[ = (3)\left(\dfrac{x}{3}\right) + (3)(1) + (2)\left(\dfrac{x}{2}\right) + (2)(-1) + 3 \] 乘法并简化： \[ = \dfrac{3x}{3} + 3 + \dfrac{2x}{2} - 2 + 3 \] 使用括号将同类项分组： \[ = \left(\dfrac{3x}{3} + 3 + \dfrac{2x}{2}\right) + (3 - 2 + 3) \] 识别系数并提取 \( x \)： \[ = \left(\dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{2}\right) x + (3 - 2 + 3) \] 简化： \[ = (1 + 1) x + 4 = 2x + 4 \]

更多参考资料和链接