数学中的最小公倍数 (LCM)
七年级习题与详细解答

如何在数学中求两个或多个数字的最小公倍数 (LCM)？本页提供七年级数学练习题以及分步解答。点击每个问题下方的箭头可查看详细解释。

什么是最小公倍数 (LCM)？

它是能被给定各数整除的最小正整数。换句话说，它是这些数字的倍数中最小的一个。

求 LCM 的两种方法

方法 1：列举倍数法（最适合较小的数字）

示例：求 6 和 8 的 LCM。

列出这两个数字的前几个倍数，一旦找到公倍数即可停止。

6 和 8 的最小公倍数是 24。

Method 2: 质因数分解法（最适合所有数字）

示例：求 42 和 60 的 LCM。

步骤 1：求 42 的质因数分解：
\( 42 = 2 \times 3 \times 7 \)

步骤 2：求 60 的质因数分解：
\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)

步骤 3：LCM 是因式分解中出现的所有质数的乘积，其中每个质数取其最高幂次。

LCM = \( 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \times 7^1 = 4 \times 3 \times 5 \times 7 = \mathbf{420} \)

提示：您可以使用最小公倍数计算器来检查您的答案。

练习题

  1. 问题：求 5 和 15 的最小公倍数。
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    5 和 15 的质因数分解为：

    \( 5 = 5^1 \)

    \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)

    LCM 是因式分解中所有质数取最高幂次的乘积：

    LCM = \( 3^1 \times 5^1 = \mathbf{15} \)。

  2. 问题：求 8、12 和 18 的最小公倍数。
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    求 8、12 和 18 的质因数分解：

    \( 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)

    \( 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \)

    \( 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2 \)

    取每个质因数（2 和 3）的最高幂次：

    LCM = \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = \mathbf{72} \)。

  3. 问题：求 70 和 90 的最小公倍数。
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    求 70 和 90 的质因数分解：

    \( 70 = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 \)

    \( 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)

    取每个质因数（2、3、5 和 7）的最高幂次：

    LCM = \( 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 2 \times 9 \times 5 \times 7 = \mathbf{630} \)。

  4. 问题：180、216 和 450 的最小公倍数是多少？
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    求质因数分解：

    \( 180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)

    \( 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \)

    \( 450 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \)

    取每个质因数（2、3 和 5）的最高幂次：

    LCM = \( 2^3 \times 3^3 \times 5^2 = 8 \times 27 \times 25 = \mathbf{5400} \)。

  5. 问题：对于以下数字对，求其 LCM 和最大公因数 (GCF)。然后，将 LCM 与 GCF 的乘积与原数字的乘积进行比较。
    a) 12 和 16
    b) 30 和 45
    c) 60 和 160
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    第 (a) 部分：12 和 16

    • 质因数分解：\( 12 = 2^2 \times 3 \)，  \( 16 = 2^4 \)
    • GCF = \( 2^2 = 4 \)
    • LCM = \( 2^4 \times 3 = 48 \)
    • LCM 与 GCF 的乘积：\( 48 \times 4 = \mathbf{192} \)
    • 原数字的乘积：\( 12 \times 16 = \mathbf{192} \)

    这两个乘积相等。

    第 (b) 部分：30 和 45

    • 质因数分解：\( 30 = 2 \times 3 \times 5 \)，  \( 45 = 3^2 \times 5 \)
    • GCF = \( 3 \times 5 = 15 \)
    • LCM = \( 2 \times 3^2 \times 5 = 90 \)
    • LCM 与 GCF 的乘积：\( 90 \times 15 = \mathbf{1350} \)
    • 原数字的乘积：\( 30 \times 45 = \mathbf{1350} \)

    这两个乘积相等。

    第 (c) 部分：60 和 160

    • 质因数分解：\( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \)，  \( 160 = 2^5 \times 5 \)
    • GCF = \( 2^2 \times 5 = 20 \)
    • LCM = \( 2^5 \times 3 \times 5 = 480 \)
    • LCM 与 GCF 的乘积：\( 480 \times 20 = \mathbf{9600} \)
    • 原数字的乘积：\( 60 \times 160 = \mathbf{9600} \)

    这两个乘积相等。

    结论：对于任意两个整数 \( M \) 和 \( N \)，以下关系始终成立：
    \( \text{GCF} \times \text{LCM} = M \times N \)

更多参考与链接

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