解答
一个数的绝对值要么是正数要么是零，因此只有 b) 部分是正确的。
给定不等式中的所有数字都标绘在下面的数轴上，并且在数轴上任意两个数字，右边的数字大于左边的数字，或者说左边的数字小于右边的数字。
因此：
a)
不正确 (-5 在 -7 的右边) b) 
正确，
c)
不正确 (-1 在 0 的左边) d) 
正确
2 - 小数
解答
将数字写入包含位值（如所示）的表格中
\( \)\( \)\( \)\( \)
\( \require{cancel} \)
1) 我们比较个位上的数字，它们都相等
2) 接下来我们比较十分位，最高的是第一行对应的数字。\( 2.32 \) 是最大的。
3) 接下来我们比较百分位，最高的是第二行和第四行。
4) 接下来我们比较第二行和第四行数字的千分位，第四行的数字最高。\( 2.033 \) 是第二大的。
5) \( 2.032 \) 是第三大的，\( 2.023 \) 是第四大的。
从大到小的顺序是：\( 2.32 \) , \( 2.033 \) , \( 2.032 \) , \( 2.023 \)
a) \( 4.01 \) 的十分位是 \( 0 \)，因此个位数字不变，所以答案是 \( 4 \)
b) \( 6.8 \) 的十分位是 \( 8 \)，因此我们在个位上加 \( 1 \)，所以答案是 \( 7 \)
c) \( 11.5 \) 的十分位是 \( 5 \)，因此我们在个位上加 \( 1 \)，所以答案是 \( 12 \)
a) \( 0.15 \div 3 = 0.05\)
b) \( 5 - 1.2 \times 0.2 = 5 - 0.24 = 4.76 \)
c) \( 2.3 - 0.7 \div 7 = 2.3 - 0.1 = 2.2\)
3 - 数的因数、倍数和整除性
解答
\( 18 \) 的因数是：\( 1, 2, 3, \color{red}6, 9, 18 \)
\( 24 \) 的因数是：\( 1, 2, 3, 4, \color{red}6, 8, 12, 24 \)
\( 24 \) 和 \( 18 \) 的最大公因数 (GCF) 是 \( \color{red}6 \)
\( 8\) 的倍数是：\( 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,\color{red}{72}, 80 \)
\( 18 \) 的倍数是：\( 18, 36, 54, \color{red}{72}, 90 \)
\( 8 \) 和 \( 18 \) 的最小公倍数 (LCM) 是 \( \color{red}{72} \)
一个数，如果其个位（最右边）数字是 \( 0 \) 或 \( 5 \)，则它能被 \( 5 \) 整除。
因此，部分 b) \( 303090 \) 和 c) \( 145055 \) 中的数字能被 \( 5 \) 整除。
一个数，如果其个位（最右边）数字是 \( 0, 2, 4, 6 , 8 \)，则它能被 \( 2 \) 整除。
因此，部分 a) \( 2798 \) 和 c) \( 6476 \) 中的数字能被 \( 2 \) 整除。
一个数如果其所有数字之和能被 \( 3 \) 整除（或是 \( 3 \) 的倍数），则该数能被 \( 3 \) 整除。
a) \( 9240 \) ：数字之和：\( 9+2+4+0 = 15 \) ，\( 15 \) 能被 \( 3 \) 整除，因此 \( 9240 \) 能被 3 整除。
b) \( 4 909 \)：数字之和：\( 4+9+0+9 = 22 \) ，\( 22 \) 不能被 \( 3 \) 整除，因此 \( 4 909 \) 不能被 3 整除。
c) \( 3 282 900 \) ： 数字之和：\( 3+2+8+2+9+0+0 = 24 \) ，\( 24 \) 能被 \( 3 \) 整除，因此 \( 3 282 900 \) 能被 3 整除。
4 - 分数和带分数
解答
我们可以通过乘以或除以给定分数的分子和分母相同的数字来获得等值分数。
a)
给定 \( \displaystyle \frac{10}{15} = \frac{?}{3}\)
要从左边分数的分母 \( 15 \) 变成右边分数的分母 \( 3 \)，我们除以 \( 5 \)。因此
\( \displaystyle \frac{10}{15} = \frac{10 \color{red}{\div 5}}{15 \color{red}{\div 5}} = \frac{2}{3} \)
b)
给定 \( \displaystyle \frac{17}{3} = \frac{34}{?} \)
要从左边分数的分子 \( 17 \) 变成右边分数的分子 \( 34 \)，我们乘以 \( 2 \)。因此
\( \displaystyle \frac{17}{3} = \frac{17 \color{red}{\times 2} }{3 \color{red}{\times 2} } = \frac{34}{6} \)
c)
给定 \( \displaystyle \frac{11}{2} = \frac{?}{8} \)
要从左边分数的分母 \( 2 \) 变成右边分数的分母 \( 8 \)，我们乘以 \( 4 \)。因此
\( \displaystyle \frac{11}{2} = \frac{11 \color{red}{\times 4}}{2 \color{red}{\times 4}} = \frac{44}{8} \)
a)
将分数 \( \displaystyle \frac{2}{5} \) 转换为分母为 \( 10 \) 的等值分数
\( \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10} \)
将给定表达式中的分数 \( \displaystyle \frac{2}{5} \) 替换为其等值分数
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} \)
和/差中的分数具有相同的分母，因此我们如下进行加/减
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} \\ = \displaystyle \frac{4}{10} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4+3-1}{10} = \frac{6}{10} \)
通过分子和分母除以 \( 2 \) 来化简分数，因此
\( \displaystyle \frac{2}{5} + \frac{3}{10} - \frac{1}{10} = \frac{3}{5} \)
b)
\( \displaystyle \frac{5}{9} \times \frac{3}{4} = \frac {5 \times 3}{9 \times 4} = \frac{15}{36}\)
用 \( 15 \) 和 \( 36 \) 的最大公因数 (GCF) \( 3 \) 除分子和分母
\( \displaystyle = \frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}\)
c)
用一个分数除以另一个分数，我们将第一个分数乘以第二个分数的倒数。因此
\( \displaystyle \frac{11}{2} \div \frac{1}{8} = \frac{11}{2} \times \frac{8}{1} = \frac{88}{2} = 44\)
d)
\( \displaystyle 4 \frac{3}{4} - 1 \frac{1}{2} = (4 - 1) + (\frac{3}{4} - \frac{1}{2}) \)
将 \( \displaystyle \frac{1}{2} \) 转换为分母为 \( 4 \) 的等值分数并替换
\( \displaystyle = 3 + (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = 3 \frac{1}{4} \)
e)
将带分数 \( \displaystyle 6 \frac{3}{4} \) 转换为分数
\( \displaystyle 6 \frac{3}{4} = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4} \)
除法通过乘以 \( 2 \) 的倒数来完成。因此
\( \displaystyle \frac{27}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{27}{8}\)
转换为带分数
\( \displaystyle \frac{27}{8} = \frac{24+3}{8} = 3 \frac{3}{8}\)
f)
将 \( 3 \) 写成分数。
\( \displaystyle 3 = \frac{3}{1} \)
除法变为乘以 \( \displaystyle \frac{3}{5} \) 的倒数。因此
\( \displaystyle 3 \div \frac{3}{5} = \frac{3}{1} \times \frac{5}{3} = 5 \)
g)
将带分数转换为假分数
\( \displaystyle 2 \frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5} = \frac{2}{1} + \frac{3}{5} = \frac{2 \times 5}{1 \times 5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \)
\( \displaystyle 3 \frac{3}{5} = 3 + \frac{3}{5} = \frac{3 \times 5}{1 \times 5} + \frac{3}{5} = \frac{18}{5} \)
用上面找到的等值分数替换带分数
\( \displaystyle 2 \frac{3}{5} \div 3 \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \div \frac{18}{5} \)
分数的除法变为乘以倒数。
\( \displaystyle 2 \frac{3}{5} \div 3 \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \times \frac{5}{18} = \frac{13}{18} \)
a)
该数字的十分位是 \( 2 \)。因此
\( 0.2 = \displaystyle \frac {2}{10} \)
化简分数
\( = \displaystyle \frac {1}{5} \)
b)
该数字个位是 \(1 \)，十分位是 \( 2 \)，百分位是 \( 4 \)。因此
\( \displaystyle 1.24 = 1 + \frac{2}{10} + \frac{4}{100} = 1 + \frac{2 \times 10}{10 \times 10} + \frac{4}{100} = 1 \frac{24}{100} \)
化简分数
\( \displaystyle = 1 \frac{6}{25} \)
c)
\( \displaystyle 2.326 = 2 + \frac{3}{10} + \frac{2}{100} + \frac{6}{1000} = 2 \frac{163}{500} \)
使用除以 \( 10 \), \( 100\), \( 1000 \), \( 10000 \), ... 的规则
a)
\( \displaystyle \frac{9}{100} = 0.09 \)
b)
\( \displaystyle \frac{17}{10000} = 0.0017\)
c)
\( \displaystyle 3 \frac{11}{100000} = 0.00011\)
a)
将分数转换为相同的分母
\( \displaystyle \frac{2}{5} = \frac{8}{20} \)
\( \displaystyle \frac{3}{4} = \frac {15}{20} \)
因此，语句 \( \displaystyle \frac{2}{5} \lt \frac{3}{4} \) 是正确的
b)
将分数转换为相同的分母
\( \displaystyle \frac{1}{3} = \frac{10}{30} \)
\( \displaystyle \frac{3}{10} = \frac {9}{30} \)
因此，语句 \( \displaystyle \frac{1}{3} \lt \frac{3}{10} \) 不正确
5 - 指数
解答
a)
\( 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 \)
b)
\( 7 \times 4 \times 4 \times 4 \times 5 \times 5 = 7 \times (4 \times 4 \times 4 \times) \times (5 \times 5) = 7 \times 4^3 \times 5^2\)
a)
\( 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 \)
b)
\( 3^2 \times 4^2 = (3 \times 3) \times (4 \times 4) = 9 \times 16 = 144\)
c)
注意 \( 10^0 = 1 \)，因此
\( 10^0 \times 4^2 = 1 \times 4 \times 4 = 16 \)
6 - 比例、比率及相关问题
解答
a) 三角形与正方形之比 : 4 比 7 b) 正方形与三角形之比 : 7 比 4 c) 正方形与图形总数之比: 7:11
学校 A: \( 1200 \) 名学生 , \( 400 \) 名男生 , 女生 \( 1200 - 400 = 800\), 女生与男生的比例作为分数: \( \displaystyle \frac{800}{400} \) 化简为 \( \displaystyle \frac{2}{1} \)
学校 B: \( 800 \) 名学生 , \( 300 \) 名男生 , 女生 \( 800 - 300 = 500\), 女生与男生的比例作为分数: \( \displaystyle \frac{500}{300} \) 化简为 \( \displaystyle \frac{5}{3} \)
比较通过分数给出并转换为公分母的比例
学校 A: \( \displaystyle \frac{2}{1} = \frac{6}{3} \)
学校 B: \( \displaystyle \frac{5}{3} \)
比较由分数给出的比例，学校 A 的女生与男生比例更高。
7 - 比例关系及相关问题
解答
距离与时间成正比，如下：
距离 = 速度 × 时间 ，速度（或速率）是常数
速度 = \( \displaystyle \frac{240 \; \text{km}}{3 \; \text{hrs}} = 80 \; km/hrs \)
\( 400 \; km \) = 速度 × 时间
时间 = \( \displaystyle \frac{400 km}{80 \; km/hrs } = 5 \; \text{hrs}\)
设 \( x \) 为购买 320 迪拉姆所需的美元金额。
变化率: \( 4 \; \text{Dhs/\$} \) 且为常数
\( 320 \; \text{Dhs} = x \times \; 4 \; \text{Dhs/\$}\)
\( x = \displaystyle \frac{320 \; \text{Dhs} }{4 \; \text{Dhs/\$}} = 80 \; \text{\$} \)
a)
距离 = \( k \times\) 时间
从图中，时间 = \( 2 \) 小时时，距离 d = \( 8 \) 公里
因此
\( 8 = k \times 2 \)
计算 \( k \)
\( k = 8/2 = 4 \)
对于时间 = 2.5 小时；
d = \( 4 × 2.5 = 10 \) 公里
b)
它是常数 \( k = 4 \) 公里/小时
c)
使用 距离 = \( k \times \) 时间，我们写出
\( 32 = 4 \times \) 时间
覆盖 \( 32 \) 公里所需的时间由 \( 32 / 4 = 8 \) 小时给出，
要使 \( y \) 与 \( x \) 成正比，我们需要满足关系 \[ y = k x \] 其中 \( k \) 必须是常数
上述关系也可以写成 \[ \frac{y}{x} = k \] 下面显示的是相同的表格，右边添加了比率 \( y \div x \)
表格 A) 和 C) 中的比率 \( y \div x \) 不是常数（见红色圆圈）。
然而，表格 B) 和 D) 中的比率 \( y \div x \) 是常数，分别等于 \( 2 \) 和 \( 3 \)。
因此，\( y \) 在表格 B) 和 D) 中与 \( x \) 成正比，但在 A) 和 C) 中不成比例。
8 - 百分比及相关问题
解答
\( \displaystyle 20\% \) 的 \( \displaystyle 10 = \frac{20}{100} \times 10 = \frac{200}{100} = 2 \)
\( 50\% \) 的 \( \displaystyle \frac{1}{4} = \frac{50}{100} \times \frac{1}{4} = \frac{50}{400} = \frac{1}{8} \)
百分比是分母为 100 的分数。因此，要将分母从 \( 5 \) 变为 100，我们乘以 \( 20 \)。
\( \displaystyle \frac {3}{5} = \frac {3 \times 20}{5 \times 20} = \frac{60}{100} = 60\% \)
她每月工资中用于衣服的百分比 = \( \displaystyle \frac {600}{3000} = \frac {600 \div 30}{3000 \div 30 } = \frac{20}{100} = 20\% \)
百分比变化 = \( \displaystyle \frac{100 - 120}{100} = \frac{-20}{100} = - 20 \% \)
设 \( x \) 为使得 \( 10\% \) 的 \( x = 3 \) 的数
\( 10\% \) 的 \( x = \displaystyle \frac {10}{100}\times x = \frac{10 x}{100} \)
因此方程为
\( \displaystyle \frac{10 x}{100} = 3 \)
方程两边乘以 \( 100 \)
\( \displaystyle \frac{10 x}{100} \times 100= 3 \times 100 \)
化简
\( 10 x = 300 \)
解出 \(x \)
\( x = 30 \)
价格上涨 20% 后，价格变为
\( 40 + 20\% \times 40 = \$48 \)
再降价 20%（基于最后价格）后，衬衫的最终价格为
\( 48 - 20\% \times 48 = 48 - 9.6 = \$38.4\)
9 - 计量单位转换
解答
将给定等式 \( 1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \) 两边除以 \( 1 \text{ km} \)，得到转换系数 \[ \frac {1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} = 1\] 我们现在写出 \( 1.2 \text{ km} = 1.2 \text{ km} \times 1 \) 上面找到的转换系数也等于 1 ，因此进行替换 \[ \displaystyle 1.2 \text{ km} = 1.2 \text{ km} \times \frac {1000 \text{ m}}{1 \text{ km}} \] 消去 \( \text{ km} \) \[ \displaystyle 1.2 \text{ km} = 1.2 \cancel{\text{ km}} \times \frac {1000 \text{ m}}{1 \cancel{\text{ km}}} \] 化简并计算 \[ 1.2 \text{ km} = 1200 \text{ m} \]
将给定等式 \( 1 \text{ US gal} = 3.78541 \text{ L} \) 两边除以 \( 3.78541 \text{ L} \) 以写出转换系数 \[ \displaystyle \frac{1 \text{ US gal}}{3.78541 \text{ L}} = 1 \] 我们现在写出 \[ 120 \text{ L} = 120 \text{ L} \times 1 \] 并用也等于 \( 1 \) 的转换系数替换 \( 1 \) \[ \displaystyle 120 \text{ L} = 120 \text{ L} \times \frac{1 \text{ US gal}}{3.78541 \text{ L}} \] 消去 \( \text{ L} \) \[ \displaystyle 120 \text{ L} = 120 \cancel{\text{ L}} \times \frac{1 \text{ US gal}}{3.78541 \cancel{\text{ L}}} \] 化简并计算 \[ \displaystyle 120 \text{ L} = \frac{120 \times 1 \text{ US gal}}{3.78541 } = 31.70066 \text{ US gal} \]
注意符号 \( m^2 \) 读作“平方米”，可以写成 \( m^2 = m \times m\)，符号 \( ft^2 \) 读作“平方英尺”，可以写成 \( ft^2 = ft \times ft\)。
将给定等式 \( 1 \text{ m} = 3.28084 \text{ ft} \) 的两边分别乘以自身（平方）得到 \[ (1 \text{ m})(1 \text{ m}) = (3.28084 \text{ ft})(3.28084 \text{ ft}) \] 化简得到包含 \( m^2 \) 和 \( ft^2 \) 的等式 \[ 1 \; m^2 = 10.76391 \; ft^2 \] 两边除以 \( 1 \; m^2 \) 得到转换系数 \[ \displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; m^2} = 1 \] 将 \( 0.3 \; m^2 \) 写成 \[ 0.3 \; m^2 = 0.3 \; m^2 \times 1 \] 用也等于 \( 1 \) 的转换系数替换 \( 1 \) \[ 0.3 \; m^2 = 0.3 \; m^2 \times \displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; m^2} \] 消去 \( m^2 \) \[ 0.3 \; m^2 = 0.3 \; \cancel{m^2} \times \displaystyle \frac{ 10.76391 \; ft^2 }{1 \; \cancel{m^2}} \] 化简并计算 \[ 0.3 \; m^2 = \displaystyle \frac{ 0.3 \times 10.76391 \; ft^2 }{1} = 3.229173 \; ft^2 \]
10 - 求表达式值
解答
给定表达式 \( \; 2x - 2 \; \)
将表达式中的 \( x \) 替换为 \( -2 \)
\[ 2 \times(-2) - 2 \] 计算 \[ = -4 -2 = -6\]
给定表达式 \( \; | -5 + b | \; \)
将表达式中的 \( b \) 替换为 \( -10 \)
\[ \; | -5 + (-10) | \; \]
计算
\[ = | -5 -10 | = | -15 | = 15 \]
给定表达式 \( \; a - b \; \)
将表达式中的 \( a \) 替换为 \( -5 \)，\( b \) 替换为 \( -8 \)
\[ \; -5 - (-8) = - 5 + 8 = 3 \; \]
11 - 代数
解答
a)
合并同类项
\[ 3x - 2 + 4 x - 5 = (3x+4x) + (-2-5)\]
化简
\[ = 7x + (-7) = 7 x - 7\]
b)
展开括号
\[ 3 (a + b + 2 ) + a + 4b - 12 = 3 a + 3 b + 6 + a + 4b - 12 \]
合并同类项
\[ = (3a + a) + (3b+4b) + (6-12) \]
化简
\[ = 4 a + 7 b - 6\]
c)
\[ \displaystyle \frac{1}{3}( 6 x + 9) + 3 \]
展开括号
\[ = \displaystyle \frac{1}{3}( 6 x) + \frac{1}{3} (9) + 3 \]
化简
\[ 2x + 3 + 3 = 2x + 6\]
d)
使用因式分解将给定表达式写成如下形式
\[ 0.2 x + x = (0.2+1) x \]
化简
\[ = 1.2 x \]
a)
\( 14 x - 2 = \color{red}2 \times 7 x - \color{red}2 \times 1 = \color{red}2 (7x-1)\)
b)
\( 9 - 18 x = \color{red}9 \times 1 - \color{red}9 \times 2x = \color{red}9(1 - 2x)\)
c)
\( 4 b - 16 a + 4 = \color{red}4 \times b - \color{red}4 \times 4 a + \color{red}4 \times 1 = \color{red}4 (b - 4a +1) \)
12 - 单变量方程及相关问题
解答
a)
给定方程 \( 3x - 2 = 4 \)
两边加 \( 2 \)
\[ 3x - 2 + \color{red}2 = 4 + \color{red}2 \]
化简
\[ 3x = 6\]
两边除以 \(3 \)
\[ \displaystyle \frac{3x}{3} = \frac{6}{3} \]
化简
\[ x = 2 \]
b)
给定方程 \( 9 - 3 = - x + 5 \)
化简左边
\[ 6 = - x + 5 \]
两边加 \( -5 \)
\[ 6 + \color{red}{-5} = - x + 5 + \color{red}{-5} \]
化简
\[ 1 = - x \]
两边乘以 \( -1 \)
\[ 1 (-1) = - x (-1) \]
化简
\[ -1 = x \]
c)
给定 \( \displaystyle \frac{x}{3} = - 7 \)
两边乘以 \( 3 \)
\[ \displaystyle \frac{x}{3} \times \color{red}{3} = - 7 \times \color{red}{3} \]
化简
\[ x = - 21 \]
d)
给定 \( 4 \left(x + \displaystyle \frac{1}{4} \right) = -15\)
展开括号
\[ 4 x + 4 \times \displaystyle \frac{1}{4} = - 15 \]
化简
\[ 4 x + 1 = - 15 \]
两边加 \( -1 \)
\[ 4 x + 1 \color{red}{-1} = - 15 \color{red}{-1} \]
化简
\[ 4 x = - 16 \]
两边除以 \( 4 \)
\[ \displaystyle \frac{4x}{4} = \frac{-16}{4} \]
化简
\[ x = - 4 \]
e)
给定 \( \displaystyle \frac{x+2}{-3} = 3 \)
两边乘以 \( -3 \)
\[ \displaystyle \frac{x+2}{-3} \times \color{red}{(-3)} = 3 \color{red}{(-3)} \]
化简
\[ x + 2 = - 9 \]
两边加 \( -2 \) 并化简
\[ x = - 11 \]
f)
\( 2(x-1) = 3(x+2) \)
展开括号
\[ 2x - 2 = 3x + 6 \]
两边加 \( -6 \)
\[ 2x - 2 + \color{red}{(-6 )} = 3x + 6 + \color{red}{(-6 )} \]
化简
\[ 2x - 8 = 3x \]
两边减去 \( 2 x \)
\[ 2x - 8 \color{red}{-2x} = 3x \color{red}{-2x} \]
化简
\[ - 8 = x \]
g)
给定 \(\displaystyle x - 2 \frac{1}{4} = 3 \)
两边加带分数 \( 2 \frac{1}{4} \)
\[\displaystyle x - 2 \frac{1}{4} \color{red}{ + 2 \frac{1}{4}} = 3 \color{red}{ + 2 \frac{1}{4}} \]
化简
\[\displaystyle x = 5 \frac{1}{4} \]
a)
公式：周长 \( = 2 \times 长 + 2 \times 宽 \)
用 340 替换周长，用 120 替换长，用 \( x \) 替换宽 \[ 340 = 2 \times 120 + 2 \times x \] 化简 \[ 340 = 240 + 2 x \]
b)
解 a) 部分中的方程
\[ x = 50 \]
c)
检查答案
周长 = \( 2 \times 长 + 2 \times 宽 \)
用上面找到的长和宽 ( \( x = 50\) ) 替换
周长 = \[ 2 \times 120 + 2 \times 50 = 340 \]
与问题中给出的一致。
13 - 单变量不等式
解答
三个不等式在下面的数轴上用红色表示。实心（红色）圆点表示该值包含在内。空心（红色）圆点表示该值排除在外。
a), b) 和 c)
a) 给定 \( 4x - 2 \gt 18 \)
不等式两边加 \( 2 \) \[ 4x - 2 \color{red}{+2} \gt 18 \color{red}{+2} \] 化简 \[ 4x \gt 20 \] 两边除以 \( 4 \) \[ \displaystyle \frac{4 x}{4} \gt \frac{20}{4} \] 化简得到给定不等式的解 \[ x \gt 5 \]
b)
\( 2(x + 3) \le 6 \)
展开左边的括号 \[ 2 x + 6 \le 6 \] 不等式两边减去 \( 6 \) \[ 2 x + 6 \color{red}{-6} \le 6 \color{red}{-6} \] 化简 \[ 2 x \le 0 \] 两边除以 \( 2 \) \[ \displaystyle \frac{2 x}{2} \le \frac{0}{2} \] 化简得到给定不等式的解 \[ x \le 0 \]
14 - 二维图形
解答
我们已知两个角的度数；设 \( x \) 为第三个角的度数，三角形三个内角之和等于 \( 180^{\circ} \)，因此 \[ 36^{^{\circ}} + 54^{^{\circ}} + x = 180^{\circ} \] 化简左边 \[ 90^{^{\circ}} + x = 180^{\circ} \] 解出 \( x \) 得到 \[ x = 90^{^{\circ}} \] 因此给定三角形是一个直角三角形，b) 是正确的。
角 \( \angle AOC \) 是一个平角，因此角 \( \angle AOB \) 和 \( \angle COB \) 是补角，它们的和等于 \( 180^{\circ} \)。因此
\[ \angle AOB + 27^{\circ} = 180^{\circ} \]
解出 \( \angle AOB \) 得到
\( \angle AOB = 153^{\circ} \)
下图中垂直角的对包括：
\( \angle AOB \; \text{和} \; \angle DOE \quad \) , \( \angle BOC \; \text{和} \; \angle EOF \quad \) , \( \angle COD \; \text{和} \; \angle FOA \)
\( \angle FOB \; \text{和} \; \angle COE \quad \) , \( \angle AOC \; \text{和} \; \angle DOF \quad \) , \( \angle BOD \; \text{和} \; \angle EOA \)
a) 六边形 : 6 条边 b) 五边形 : 5 条边 c) 八边形 : 8 条边
等边三角形有 3 条对称轴，如下所示。
15 - 平面图形的周长和面积
解答
\( \text{半径} = \displaystyle \frac{\text{直径}}{ 2} = \frac{20 \; cm}{2} = 10 \; cm \)
\( \text{面积} = 3.14 \times \text{半径} \times \text{半径} = 3.14 \times 10 \times 10 = 314 \; cm^2\)
矩形周长 = \( 2 \times 长 + 2 \times 宽 \)
用给定值替换长和宽 周长 = \( 2 \times 10 + 2 \times 8 = 36 \text{ 英寸} \)
三角形面积 = \( \frac{1}{2} \times 高 \times 底 \)
用给定值替换高和底
三角形面积 = \( \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25 \; cm^2 \)
要求阴影面积，从主矩形面积中减去半圆面积。
阴影面积 = 矩形面积 - 半圆面积
\( \text{半圆半径 = 直径} / 2 = 50/2 = 25 \; cm \)
矩形面积 \( = 长 \times 宽 = 100 \times 50 = 5000 cm^2 \)
半圆面积 \( = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 半径 \times 半径 = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 25 \times 25 = 981.25 \; cm^2 \)
阴影面积 \( = 5000 \; cm^2 - 981.25 \; cm^2 = 4018.75 \; cm^2 \)
16 - 数据与图表解读
解答
a) 星期六
b) 星期四
c) 做作业的总小时数 \( = 3 + 3 + 2 + 4 + 3 + 1 = 16 \; 小时 \)
a) 该班级的学生人数通过将每个分数段对应的学生人数（纵轴）相加得到。 该班级的学生人数 \( = 2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 3 = 25 \)
b)
从 70 到 89，我们有两个分数段：70 到 79 有 6 名学生，80 到 89 有 7 名学生。
因此，有 \( 6 + 7 = 13 \) 名学生的分数在 70 到 89 之间（含）。
c)
不及格的学生是分数段 40 到 49 和 50 到 59 的学生，每个分数段的学生人数分别是 2 和 3。因此
不及格的学生人数 \( = 2 + 3 = 5\)
不及格学生占总学生人数的百分比 \( = \frac{5}{25} = 20\% \)
17 - 统计
解答
平均数 \( = \displaystyle \frac{9 + 4 + 3 + 2 + 3 + 2 + 3 + 1 + 9}{9} = 4 \)
将给定数据从小到大排列
\( \{ 1, 2, 2, 3, \color{red}3, 3, 4, 9, 9 \} \)
数据值 \( 3 \) 出现的次数最多，因此是众数
有 9 个数据值，数据值 \( 3 \)（红色）在中间，因此是中位数
设 \( x \) 为 Joel 第四次测验的分数。平均分给定为 90，因此
平均数 \( = \displaystyle \frac{78+95+92+x}{4} = 90 \)
化简并写为方程
\( \displaystyle \frac{265+x}{4} = 90 \)
方程两边乘以 \( 4 \)
\( \displaystyle \frac{265+x}{4} \times 4 = 90 \times 4 \)
化简
\( 265 + x = 360 \)
因此
\( x = 360 - 265 = 95 \)
Joel 需要在第四次测验中得 95 分，才能使这 4 次测验的平均分为 90。
18 - 计数原理
解答
这家餐厅可以提供午餐的方式数量为 \( 3 \times 5 \times 4 = 60 \)
第一家汽车经销商有 \( 3 \times 4 \times 3 = 36 \) 种选择
第二家汽车经销商有 \( 2 \times 5 \times 4 = 40 \) 种选择
第二家经销商有更多选择。
19 - 概率
解答
概率的度量值在 0 到 1 之间（含）。因此 b) -0.5 和 c) 2 不能作为概率的度量值
抛一枚硬币有 2 种结果：正面和反面
从五张不同的卡片中选一张有 5 种结果。
使用计数原理找出抛一枚硬币并随机从五张不同的卡片中选一张的结果数量。
\( 2 \times 5 = 10 \) 种可能结果
a) 骰子没有面是零，因此得到零的概率等于零。
b) 6 个面中有 1 个面是 5，概率等于 1/6
c) 标有 5 和 6 的面数字大于 4。因此 6 个面中有两个面大于 4，概率等于 2/6 = 1/3。
从这个实验中，有 5 名学生选择蓝色作为他们最喜欢的颜色，因此有 15 名学生选择的最喜欢的颜色不是蓝色。
因此，如果调查一名学生，他/她选择非蓝色作为最喜欢的颜色的概率等于 15/20 = 3/4。