比率问题及解答详解
以下是关于如何解决比率问题？的详细解答。
地图上两个城市之间的距离是15厘米。地图的比例尺是5厘米对应15公里。两个城市之间的实际距离 \( d \) 是多少公里？
解答
首先，用已知量以每厘米公里数表示单位比率：
\[
\frac{15 \ \text{公里}}{5 \ \text{厘米}}
\]
设 \( d \) 为对应15厘米的实际距离（公里）。使用未知量 \( d \) 的单位比率为：
\[
\frac{d}{15 \ \text{厘米}}
\]
因为两个比率相等：
\[
\frac{15 \ \text{公里}}{5 \ \text{厘米}} = \frac{d}{15 \ \text{厘米}}
\]
交叉相乘：
\[
15 \ \text{公里} \times 15 \ \text{厘米} = d \times 5 \ \text{厘米}
\]
两边同时除以 \( 5 \ \text{厘米} \)：
\[
\frac{15 \ \text{公里} \times 15 \ \text{厘米}}{5 \ \text{厘米}} = \frac{d \times 5 \ \text{厘米}}{5 \ \text{厘米}}
\]
化简：
\[
\frac{15 \ \text{公里} \times 15 \ \cancel{\text{厘米}}}{5 \ \cancel{\text{厘米}}} = \frac{d \times \cancel{5} \ \cancel{\text{厘米}}}{\cancel{5} \ \cancel{\text{厘米}}}
\]
\[
d = 45 \ \text{公里}
\]
一辆汽车消耗10加仑燃油行驶了220英里。假设消耗速率恒定，行驶330英里需要多少加仑燃油？
解答
用已知量以每加仑英里数表示单位比率：
\[
\frac{220 \ \text{英里}}{10 \ \text{加仑}}
\]
设 \( x \) 为行驶330英里所需的加仑数。那么使用 \( x \) 的单位比率为：
\[
\frac{330 \ \text{英里}}{x}
\]
因为两个比率相等：
\[
\frac{220 \ \text{英里}}{10 \ \text{加仑}} = \frac{330 \ \text{英里}}{x}
\]
交叉相乘：
\[
220 \ \text{英里} \times x = 330 \ \text{英里} \times 10 \ \text{加仑}
\]
两边同时除以 \( 220 \ \text{英里} \)：
\[
\frac{220 \ \text{英里} \times x}{220 \ \text{英里}} = \frac{330 \ \text{英里} \times 10 \ \text{加仑}}{220 \ \text{英里}}
\]
化简求 \( x \)：
\[
x = 15 \ \text{加仑}
\]
电影院10张票的价格是66美元。在同一家电影院，22张票的价格是多少？
解答
先求一张票的成本 \( c \)（单位比率），计算如下：
\[
c = \frac{\$66}{10 \text{ 张}} = 6.6 \text{ 美元/张}
\]
已知一张票的成本，22张票的成本 \( C \) 为：
\[
C = 22 \text{ 张} \times c = 22 \times 6.6 = \$145.2
\]
苏打水罐被包装在包含相同数量罐子的箱子中。4个箱子有36罐。
a) 7个箱子有多少罐？
b) 包装99罐苏打水需要多少个箱子？
解答
a) 首先，求每箱的罐数 \( n \)（单位比率）：
\[
n = \frac{36 \text{ 罐}}{4 \text{ 箱}} = 9 \text{ 罐/箱}
\]
7个箱子中的罐数 \( N \) 为：
\[
N = 7 \times n = 7 \text{ 箱} \times 9 \text{ 罐/箱} = 63 \text{ 罐}
\]
b) 设 \( B \) 为包装99罐所需的箱子数。使用单位比率，写出比例式：
\[
\frac{9 \text{ 罐}}{1 \text{ 箱}} = \frac{99 \text{ 罐}}{B}
\]
交叉相乘：
\[
9 \text{ 罐} \times B = 99 \text{ 罐} \times 1 \text{ 箱}
\]
两边同时除以 \( 9 \text{ 罐} \)：
\[
\frac{9 \text{ 罐} \times B}{9 \text{ 罐}} = \frac{99 \text{ 罐} \times 1 \text{ 箱}}{9 \text{ 罐}}
\]
化简：
\[
B = 11 \text{ 箱}
\]
乔以15美元的价格买了4千克苹果。在同一家商店，买11千克同样的苹果需要支付多少钱？
解答
首先，求一千克苹果的成本 \( c \)（单位比率）：
\[
c = \frac{\$15}{4 \text{ 千克}} = \$3.75 \text{ 每千克}
\]
已知1千克的成本，11千克的成本 \( C \) 为：
\[
C = 11 \text{ 千克} \times c = 11 \text{ 千克} \times \$3.75 \text{ 每千克} = \$41.25
\]
一台水泵需要10分钟将55加仑的水抽上山。在相同条件下使用同一台水泵：
a) 22分钟内可以抽多少加仑水？
b) 抽165加仑水需要多长时间？
解答
a) 首先，求每分钟抽水的加仑数 \( n \)（单位比率）：
\[
n = \frac{55 \text{ 加仑}}{10 \text{ 分钟}} = 5.5 \text{ 加仑/分钟}
\]
22分钟内抽水的加仑数 \( N \) 为：
\[
N = 22 \text{ 分钟} \times 5.5 \text{ 加仑/分钟} = 121 \text{ 加仑}
\]
b) 设 \( T \) 为抽165加仑水所需的分钟数。使用比率相等关系：
\[
\frac{55 \text{ 加仑}}{10 \text{ 分钟}} = \frac{165 \text{ 加仑}}{T}
\]
交叉相乘：
\[
55 \text{ 加仑} \times T = 165 \text{ 加仑} \times 10 \text{ 分钟}
\]
两边同时除以 \( 55 \text{ 加仑} \) 并化简：
\[
T = \frac{165 \text{ 加仑} \times 10 \text{ 分钟}}{55 \text{ 加仑}} = 30 \text{ 分钟}
\]
一个装有324升水的容器每5小时泄漏3升水。容器需要多长时间才会变空？
解答
设 \( T \) 为324升水泄漏完所需的小时数。使用比率相等关系：
\[
\frac{3 \text{ 升}}{5 \text{ 小时}} = \frac{324 \text{ 升}}{T}
\]
交叉相乘：
\[
3 \text{ 升} \times T = 5 \text{ 小时} \times 324 \text{ 升}
\]
两边同时除以 \( 3 \text{ 升} \) 并化简：
\[
T = \frac{5 \text{ 小时} \times 324 \text{ 升}}{3 \text{ 升}} = 540 \text{ 小时}
\]
21个相同大小的番茄酱罐头重7300克。5个罐头的重量是多少？
解答
设 \( W \) 为5个罐头的重量。使用比率相等关系：
\[
\frac{20 \text{ 个}}{7300 \text{ 克}} = \frac{5 \text{ 个}}{W}
\]
交叉相乘：
\[
20 \text{ 个} \times W = 5 \text{ 个} \times 7300 \text{ 克}
\]
两边同时除以 \( 20 \text{ 个} \) 并化简：
\[
W = \frac{5 \text{ 个} \times 7300 \text{ 克}}{20 \text{ 个}} = 1825 \text{ 克}
\]
一个空容器正以每45秒5升的速度被水泵注水。但容器同时也以每180秒1升的速度漏水。一小时后容器中的水量是多少？
解答
在这个问题中，我们有两个速率：
注水速率 \( R_f \)
漏水速率 \( R_l \)
计算这两个速率：
\[
R_f = \frac{5 \ \text{升}}{45 \ \text{秒}}, \quad R_l = \frac{1 \ \text{升}}{180 \ \text{秒}}
\]
我们还知道：
\[
1 \ \text{小时} = 3600 \ \text{秒}
\]
1小时后水泵注入的水量 \( Q_1 \) 为：
\[
Q_1 = R_f \times 3600 = \frac{5}{45} \times 3600 = 400 \ \text{升}
\]
1小时后通过漏水损失的水量 \( Q_2 \) 为：
\[
Q_2 = R_l \times 3600 = \frac{1}{180} \times 3600 = 20 \ \text{升}
\]
因此，1小时后容器中的水量 \( Q \) 为：
\[
Q = Q_1 - Q_2 = 400 - 20 = 380 \ \text{升}
\]
链接与参考