练习题
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圆柱体公式：求一个半径为 5 厘米、高为 34 厘米的封闭圆柱形容器的总表面积和体积。提示：面积 \( A = 2\pi r^2 + 2\pi rh \)，体积 \( V = \pi r^2 h \)
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步骤 1：计算总表面积
- \( A = 2\pi(5)^2 + 2\pi(5)(34) \) (代入 \( r=5 \) 和 \( h=34 \))
- \( A = 2\pi(25) + 2\pi(170) \)
- \( A = 50\pi + 340\pi \)
- 面积 = \( 390\pi \text{ cm}^2 \)
步骤 2：计算体积
- \( V = \pi(5)^2(34) \)
- \( V = \pi(25)(34) \)
- 体积 = \( 850\pi \text{ cm}^3 \)
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圆锥体公式：求一个半径为 5 厘米、高为 15 厘米的封闭圆锥形容器的总表面积和体积。（将答案四舍五入到最接近的整数）。提示：面积 \( A = \pi r^2 + \pi r\sqrt{r^2 + h^2} \)，体积 \( V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h \)
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步骤 1：计算总表面积
- 首先，求母线长：\( \sqrt{5^2 + 15^2} = \sqrt{25 + 225} = \sqrt{250} \approx 15.81 \) 厘米。
- \( A = \pi(5)^2 + \pi(5)(15.81) \)
- \( A = 25\pi + 79.05\pi = 104.05\pi \)
- \( 104.05 \times 3.14159 \approx 326.88 \)
- 面积 \(\approx 327 \text{ cm}^2 \)
步骤 2：计算体积
- \( V = \dfrac{1}{3}\pi(5)^2(15) \)
- \( V = \dfrac{1}{3}\pi(25)(15) = \pi(25)(5) = 125\pi \)
- \( 125 \times 3.14159 \approx 392.69 \)
- 体积 \(\approx 393 \text{ cm}^3 \)
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倒推法（立方体）：一个立方体六个面的总表面积等于 150 平方英尺。求该立方体的体积。提示：面积 \( A = 6s^2 \)，体积 \( V = s^3 \)（其中 \( s \) 为边长）
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步骤 1：求边长（\( s \)）
- 总表面积是 6 个相同正方形面的总和。
- \( 6s^2 = 150 \)
- \( s^2 = 25 \) (除以 6)
- \( s = 5 \text{ 英尺} \) (取平方根)
步骤 2：计算体积
- \( V = s^3 = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 \)
- 体积 = \( 125 \text{ 立方英尺} \)
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余角：哪两个角互为余角？
- 21\(^{\circ} \) 和 78\(^{\circ} \)
- 58\(^{\circ} \) 和 22\(^{\circ} \)
- 67\(^{\circ} \) 和 23\(^{\circ} \)
- 140\(^{\circ} \) 和 40\(^{\circ} \)
定义：互余的两个角之和为 90\(^{\circ} \).查看分步解答
我们必须找到和正好等于 90\(^{\circ} \) 的那一对：
- A) 21 + 78 = 99\(^{\circ} \)
- B) 58 + 22 = 80\(^{\circ} \)
- C) 67 + 23 = 90\(^{\circ} \) (这两个角互余)
- D) 140 + 40 = 180\(^{\circ} \) (这两个角互补)
答案：C
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补角：哪两个角不互为补角？
- 30\(^{\circ} \) 和 150\(^{\circ} \)
- 5\(^{\circ} \) 和 175\(^{\circ} \)
- 89\(^{\circ} \) 和 91\(^{\circ} \)
- 23\(^{\circ} \) 和 177\(^{\circ} \)
定义：互补的两个角之和为 180\(^{\circ} \).查看分步解答
我们必须找到和不正好等于 180\(^{\circ} \) 的那一对：
- A) 30 + 150 = 180\(^{\circ} \)
- B) 5 + 175 = 180\(^{\circ} \)
- C) 89 + 91 = 180\(^{\circ} \)
- D) 23 + 177 = 200\(^{\circ} \) (这些不等于 180)
答案：D
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梯形面积：求梯形的高 \( h \)，使其面积等于 400 平方厘米。
提示：\( A_{\text{trapezoid}} = \dfrac{1}{2}h(b_1 + b_2) \)查看分步解答
- 给定的底分别为 \( b_1 = 27 \) 和 \( b_2 = 13 \)。面积为 400。
- \( 400 = \dfrac{1}{2}h(27 + 13) \) (代入已知值)
- \( 400 = \dfrac{1}{2}h(40) \)
- \( 400 = 20h \)
- \( h = \dfrac{400}{20} \)
- \( h = 20 \text{ 厘米} \)
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平行四边形面积：求平行四边形的宽 \( w \)，使其面积等于 600 平方英尺。
提示：\( A_{\text{parallelogram}} = \text{base} \times \text{height} \)查看分步解答
- 给定的高为 20 英尺。面积为 600。底标记为 \( w \)。
- \( 600 = w \times 20 \)
- \( w = \dfrac{600}{20} \)
- \( w = 30 \text{ 英尺} \)
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复杂图形面积：根据提供的视觉尺寸，求阴影图形的面积。
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- 阴影区域的面积等于大矩形（40 乘 25）的面积减去白色小矩形（14 乘 12，左侧）的面积以及高为 10、宽为 25 的白色三角形（右侧）的面积。
- \( \text{Area of Shaded Region} = 40 \times 25 - 14 \times 12 - \dfrac{1}{2} \times 10 \times 25 = 707 \; \text {cm}^2 \)
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开放式盒子的表面积：求顶部开口的盒子的总表面积。
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要寻找开放式盒子的表面积，我们计算底部的面积（12 乘 9），并加上正面面积的两倍（12 乘 11）以及右侧面积的两倍（11 乘 9）。我们不包含顶面。
- 使用图中提供的尺寸，计算各个矩形面。
- \( \text{Total Surface Area} = 12 \times 9 + 2 \times 11 \times 9 + 2 \times 11 \times 12 = 570 \; \text{cm}^2 \)。
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解析几何：如果四边形 ABCD 是平行四边形，点 D 的坐标是什么？
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要使 ABCD 成为平行四边形，对边必须平行且长度相等。使用向量，要使 ABCD 成为平行四边形，向量 \( \vec{AB} \) 和 \( \vec{DC} \) 必须相等。
- \( \vec{AB} \) 的分量 = \(\lt 8-2 , 6 - 6 \gt = \lt 6 , 0 \gt \)。
- 设 \( (a,b) \) 为点 D 的坐标。
- \( \vec{DC} \) 的分量 = \(\lt 7-a , 2 - b \gt\)。
- 如果向量的分量相等，则向量相等，因此有方程：\( 7 - a = 6 \) 和 \( 2 - b = 0 \)。
- 求解方程可得：\( a = 1 \) 和 \( b = 2 \)
- 点 D 位于 (1, 2)。
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直角三角形：所显示的三角形中哪几个是直角三角形？
提示：在直角三角形中，\( a^2 + b^2 = c^2 \)（勾股定理），且其中一个角必须等于 90\(^{\circ} \).查看分步解答
- A：给出了三角形 A 的角度：第三个角等于 \(180-62-28 = 90^{\circ} \)，因此三角形 A 是直角三角形
- B：给出了三角形 B 的边长：假设长度为 \( 5 \) 的最长边是斜边并应用勾股定理：\( 3^2 + 3.9^2 = 24.21 \) 不等于 \( 5^2 \)，因此三角形 B 不是直角三角形。
- C：给出了三角形 C 的边长：假设长度为 \( 15 \) 的最长边是斜边并应用勾股定理：\( 9^2 + 12^2 = 225 \) 等于 \( 15^2 = 225 \)，因此三角形 C 是直角三角形。
- 三角形 A 和 C 是直角三角形。
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三角形的角：如果三角形 ABC 是角 B = 90\(^{\circ} \) 的直角三角形，求外角 \( x \)。
提示：内角之和为 180\(^{\circ} \)。外角与其相邻的内角互补（和为 180\(^{\circ} \)).查看分步解答
- 首先，根据三角形 ABC 内角之和为 180\(^{\circ} \) 的规则确定缺失的内角。
- 与 \( x \) 相邻的内角为 \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 47^{\circ} = 43^{\circ} \)。
- 因为 \( x \) 与该内角以及 \( 35^{\circ} \) 的角构成一条直线，它们的和必须为 180\(^{\circ} \)。
- \( x + 43 + 35 = 180^{\circ} \)
- 求解 \( x \)：\( x = 102^{\circ} \)
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相似三角形：如果这三个三角形都相似，求所有未知边 \( x, y, z \) 和 \( w \)。
提示：当两个三角形相似时，它们的对应边成比例：\( \dfrac{a}{a'} = \dfrac{b}{b'} = \dfrac{c}{c'} \)查看分步解答
要寻找缺失的边，利用相似三角形的对应边建立比例关系。
- \( \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} = \dfrac{3}{x} \)
- \( \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} \)
- 求解方程：\( \dfrac{12}{36} = \dfrac{17}{y} \) 、 \( \dfrac{12}{36} = \dfrac{3}{x} \) 、 \( \dfrac{12}{z} = \dfrac{17}{204} \) 以及 \( \dfrac{17}{204} = \dfrac{3}{w} \) 可得：
- \( x = 9 \)
- \( y = 51 \)
- \( z = 144 \)
- \( w = 36 \)
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坐标反射：一个顶点为 (-2,6)、(6,8)、(9,2) 和 (4,-1) 的四边形关于 x 轴进行反射。反射后顶点的坐标是什么？提示：关于 x 轴反射：\( (x,y) \to (x,-y) \)
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要将点关于 x 轴进行反射，x 坐标保持不变，y 坐标取反。
- \( (-2, 6) \to \) \( (-2, -6) \)
- \( (6, 8) \to \) \( (6, -8) \)
- \( (9, 2) \to \) \( (9, -2) \)
- \( (4, -1) \to \) \( (4, 1) \)
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体积比例：立方体 A 的边长是立方体 B 的边长的 3 倍。立方体 A 的体积是 3,375 立方英尺。求立方体 B 的体积。提示：\( V = s^3 \)
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方法 1：比例因子
- 如果边长比为 3:1，则体积比为其立方：\( 3^3 : 1^3 = 27:1 \)。
- 这意味着立方体 A 的体积是立方体 B 的 27 倍。
- \( 3375 \div 27 = \) \( 125 \text{ 立方英尺} \)。
方法 2：代数
- \( V_A = (s_A)^3 = 3375 \)。因此，\( s_A = \sqrt[3]{3375} = 15 \text{ 英尺} \)。
- 因为 \( s_A = 3 \times s_B \)，所以 \( 15 = 3 \times s_B \)，即 \( s_B = 5 \text{ 英尺} \)。
- \( V_B = (5)^3 = \) \( 125 \text{ 立方英尺} \)。
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面积比例（相似矩形）：矩形 A 的长为 24 厘米，矩形 B 的长为 96 厘米。这两个矩形相似。求矩形 A 的面积与矩形 B 的面积之比。提示：相似图形的面积比为其对应边长比的平方。
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- 求它们对应长度的比值：\( \dfrac{24}{96} \)。
- 简化边长比：\( \dfrac{24}{96} = \dfrac{1}{4} \)。
- 要求面积比，将边长比平方：\( \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} = \dfrac{1}{16} \)。
- 矩形 A 的面积与矩形 B 的面积之比为 1:16。