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Un cercle de centre C donné par ses coordonnées C(h,k) est illustré ci-dessous. Par définition, tous les points M(x,y) du cercle sont à égale distance du centre. En d'autres termes, un cercle de centre C est l'ensemble de tous les points qui sont à égale distance du point C . Cette distance entre C et n'importe quel point du cercle est appelée rayon et a une longueur r dans le graphique ci-dessous.
La distance du centre C(h,k) à un point M(x,y) sur le cercle est donnée par
Pour trouver l'équation, on utilise la définition pour écrire que la distance CM est égale au rayon r
Travailler avec la racine carrée ajoute des difficultés supplémentaires qui peuvent être évitées. La racine carrée de l'équation ci-dessus peut être éliminée en mettant au carré les deux côtés de l'équation pour obtenir
Simplifiez pour obtenir l'équation standard d'un cercle de centre C(h,k) et de rayon r
\( \) \( \) \( \) \( \)
\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]
Exemple 1
Trouver l'équation standard du cercle de centre C(2,5) et de rayon r = 2
Solution de l'exemple 1
Étant donné le centre et le rayon, l’équation standard du cercle est donnée par :
\( (x - 2)^2 + (y - 5)^2 = 2^2 \)
Pour savoir si un point donné se trouve sur un cercle, à l'intérieur d'un cercle ou à l'extérieur d'un cercle, on compare le carré de la distance du centre du cercle au point donné au carré du rayon. On utilise le carré de la distance au lieu de la distance pour éviter d'utiliser la racine carrée.
Pour un cercle de centre \( C(h,k) \) et de rayon \( r \), point \( P \) de coordonnées \( (x_0 , y_0) \)
1) est sur le cercle, si l'égalité suivante est satisfaite :
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 = r^2 \]
2) est à l’intérieur du cercle, si l’inégalité suivante est satisfaite :
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 \lt r^2 \]
3) est en dehors du cercle, si l’inégalité suivante est satisfaite :
\[ (x_0 - h)^2 + (y_0 - k)^2 \gt r^2 \]
Exemple 2
Equation d'un cercle et de points à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle
Lequel des points suivants \( P_1(1,5) \) , \( P_2(2,3) \) et \( P_3(4,7) \) se trouve à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle donné dans l'exemple 1 ?
Solution de l'exemple 2
Le centre du cercle dans l'exemple 1 est à \( C(2,5) \) et a un rayon \( r = 2 \)
Trouvez le carré de la distance entre le centre du cercle et chacun des points donnés et comparez-le au carré du rayon
le carré de la distance de \( C \) à \( P_1 \) est donné par : \( (2-1)^2 + (5-5)^2 = 1\) qui est plus petit que \( r^2 = 4\). Donc le point \( P_1 \) est à l’intérieur du cercle.
le carré de distance de \( C \) à \( P_2 \) est donné par : \( (2-2)^2 + (5-3)^2 = 4\) qui est égal à \( r^2 = 4\). Donc le point \( P_1 \) est sur le cercle.
le carré de la distance de \( C \) à \( P_3 \) est donné par : \( (2-4)^2 + (5-7)^2 = 8\) qui est plus grand que \( r^2 = 4\). Donc le point \( P_3 \) est à l’extérieur du cercle.
Le cercle et les trois points sont indiqués ci-dessous et nous pouvons facilement vérifier la réponse trouvée ci-dessus.
L'une des propriétés importantes d'une ligne tangente à un cercle est qu'elle est perpendiculaire à la ligne passant par le centre \( C \) et le point de tangence \( M \), comme indiqué ci-dessous.
Exemple 3 Equation d'un cercle et de points à l'intérieur, à l'extérieur ou sur le cercle
Trouvez l'équation de la tangente au cercle avec l'équation \( (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 5 \) au point \( M(-4, 3) \).
Solution de l'exemple 3
En comparant l'équation donnée à l'équation standard générale donnée ci-dessus, nous en déduisons que le centre est en \( C(-2,2) \).
La pente \( m_1 \) de la droite passant par \( C M \) est donnée par
\( m_1 = \dfrac{3-2}{-4-(-2)} = -\dfrac{1}{2} \)
Soit \( m_2 \) la pente de la tangente. Puisque la tangente et \( C M \) sont perpendiculaires, les pentes \( m_1 \) et \( m_2 \) sont liées par
\( m_1 \times m_2 = -1 \)
qui donne
\( (-\dfrac{1}{2}) \times m_2 = -1 \)
résoudre pour \( m_2 \) pour obtenir
\( m_2 = 2 \)
nous connaissons maintenant la pente \( m_2 \) et \( M(-4,3) \) le point de tangence par lequel passe la ligne tangente, nous utilisons la formule de pente du point pour trouver l'équation de la ligne tangente à la donnée cercle
\( y - 3 = 2 (x - (-4)) \)
\( y = 2 x + 11 \)
A titre d'exercice, tracez le cercle donné et l'équation de la tangente trouvée ci-dessus et vérifiez graphiquement qu'ils sont tangents au point (-4,3).
Commençons par l'équation standard d'un cercle
\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)
Développer
\(x^2 - 2 h x + h^2 + y^2 - 2 k y + k^2 = r^2 \)
Laisser
\( A = - 2 h\), \( B = - 2 k \) et \( C = h^2 + k^2 - r^2\)
Remplacez dans l'équation développée pour obtenir la forme générale de l'équatine d'un cercle.
\(x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0 \)
Exemple 4 Trouver l'équation d'un cercle étant donné trois points
Trouvez l'équation du cercle passant par les points \( P_1(6,4) \), \( P_2(-1,5) \) et \( P_3(2,-4) \).
Solution de l'exemple 4
Les coordonnées d'un point sur un cercle doivent satisfaire à l'équation du cercle. On écrit que les coordonnées de chacun des points donnés satisfont l'équation du cercle sous la forme générale : \( x^2 + y^2 + A x + B y + C = 0 \).
Le point \( P_1(6,4) \) est sur le cercle ; remplacer \( x \) par \( 6 \) et \( y \) par \( 4 \) dans l'équation, donc : \( 6^2 + 4^2 + 6 A + 4 B + C = 0 \ )
Le point \( P_2(-1,5) \) est sur le cercle ; remplacer \( x \) par \( -1 \) et \( y \) par \( 5 \) dans l'équation, donc : \( (-1)^2 + 5^2 - A + 5 B + C = 0 \)
Le point \( P_3(2,-4) \) est sur le cercle ; remplacer \( x \) par \( 2 \) et \( y \) par \( -4 \) dans l'équation, d'où : \( 2^2 + (-4)^2 + 2 A - 4 B + C = 0\)
Résoudre le pour (A,B,C) le système d'équations obtenu ci-dessus et présenté ci-dessous sous forme standard
\( \begin{cases} 6 A + 4 B + C = -52\\ - A + 5 B + C = - 26 \\ 2 A - 4 B + C = -20 \end{cases} \)
Utilisez n’importe quelle méthode pour obtenir la solution
\( A = -4\) , \( B = -2 \), \( C = -20 \)
Nous remplaçons maintenant \( A \), \( B \) et \( C \) par leurs valeurs et écrivons l'équation du cercle comme suit :
\(x^2 + y^2 - 4 x - 2 y - 20 = 0 \)
Le cercle trouvé ci-dessus et les trois points sont représentés dans le graphique ci-dessous.
Exemple 5 Réécrivez l'équation générale d'un cercle sous forme standard.
Réécrivez l'équation du cercle donnée par \( x^2 + y^2 + 6x - 2y + 5 = 0 \) et trouvez son centre et son rayon.
Solution de l'exemple 5
Mettez, entre parenthèses, les termes de \( x\) et \( x^2 \) ensemble et les termes de \( y \) et \( y^2\) ensemble
\( (x^2 + 6x) + (y^2 - 2y) + 5 = 0 \)
compléter le carré de chaque binôme entre les parehthèses
\( (x^2 + 3)^2 - 3^2 + (y^2 - 1)^2 - (-1)^2 + 5 = 0 \)
Écrire sous forme standard
\( (x + 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \)
Comparez l'équation ci-dessus à l'équation standard \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) et identifiez les coordonnées \( h \) et \( k \) du centre de le cercle et le rayon \( r \).
\( h = - 3\) , \( k = 1\) et \( r^2 = 5 \)
Le centre du cercle a les coordonnées : \( (-3 , 1) \) et le rayon \( r = \sqrt 5 \)
Il s'agit d'une application HTML5 permettant d'explorer l'équation d'un cercle et les propriétés du cercle.
Feuilles d'exercices mathématiques étape par étape Solveurs
Trouver les coordonnées à l'origine x et y des cercles - Calculatrice
Tutoriel sur l'équation du cercle
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