Trouver les dérivées de fonctions en analyse

Exemples complets de dérivation : règles de la puissance, du produit, du quotient et de la chaîne

Maîtriser la dérivation implique d'appliquer des règles spécifiques en fonction de la structure de la fonction. Vous trouverez ci-dessous des exemples couvrant la règle de la puissance, la règle du produit, la règle du quotient et la règle de chaîne, accompagnés de solutions détaillées.

Exemples sur la règle de la puissance

La règle de la puissance stipule que pour \( f(x) = x^n \), la dérivée est \( f'(x) = nx^{n-1} \).

Exemple 7 : Trouvez la dérivée de \( f(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 10 \)

Appliquez la règle de la puissance à chaque terme individuellement :

  • La dérivée de \( 4x^5 \) est \( 4(5x^4) = 20x^4 \)
  • La dérivée de \( -3x^2 \) est \( -3(2x) = -6x \)
  • La dérivée de \( 7x \) est \( 7(1) = 7 \)
  • La dérivée de la constante \( -10 \) est \( 0 \)

Solution finale : \( f'(x) = 20x^4 - 6x + 7 \)

Exemple 8 : Trouvez la dérivée de \( f(x) = \dfrac{3}{x^2} + 5\sqrt[3]{x} \)

Réécrivez la fonction à l'aide d'exposants : \( f(x) = 3x^{-2} + 5x^{1/3} \)

Appliquez la règle de la puissance :

\[ f'(x) = 3(-2x^{-3}) + 5(\frac{1}{3}x^{-2/3}) \] \[ f'(x) = -\dfrac{6}{x^3} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}} \]

Exemples sur les règles du produit et du quotient

Exemple 1 : \( f(x) = (x^2 - 5)(x^3 - 2x + 3) \) (Règle du produit)

En utilisant \( f'(x) = U'V + UV' \) :

\[ f'(x) = 2x(x^3 - 2x + 3) + (x^2 - 5)(3x^2 - 2) \]

Résultat : \( 5x^4 - 21x^2 + 6x + 10 \)

Example 3 : \( f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{5x - 3} \) (Règle du quotient)

En utilisant \( f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{V^2} \) :

\[ f'(x) = \dfrac{2x(5x - 3) - (x^2 + 1)5}{(5x - 3)^2} \]

Résultat : \( \dfrac{5x^2 - 6x - 5}{(5x - 3)^2} \)

Exemples sur la règle de chaîne

La règle de chaîne est utilisée pour les fonctions composées : \( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).

Exemple 9 : Trouvez la dérivée de \( f(x) = (4x^3 - 2x)^6 \)

Soit la fonction « intérieure » \( u = 4x^3 - 2x \). Alors \( f(x) = u^6 \).

1. Dérivez la fonction extérieure : \( 6u^5 \)

2. Dérivez la fonction intérieure : \( u' = 12x^2 - 2 \)

3. Multipliez-les : \( 6(4x^3 - 2x)^5 \cdot (12x^2 - 2) \)

Résultat : \( 12(6x^2 - 1)(4x^3 - 2x)^5 \)

Exemple 10 : Trouvez la dérivée de \( f(x) = \sqrt{x^2 + 1} \)

Réécrivez sous la forme \( f(x) = (x^2 + 1)^{1/2} \).

\[ f'(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (2x) \]

Les 2 s'annulent, ce qui donne :

\[ f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Exercices d'entraînement

Exercice 7 : \( f(x) = 10x^4 - \pi x + e \) (Règle de la puissance)

Réponse : \( f'(x) = 40x^3 - \pi \) (Remarque : \( e \) est une constante, sa dérivée est 0).

Exercice 8 : \( g(x) = (2x+1)^3(x-5)^2 \) (Règle du produit + de chaîne)

Réponse : \( g'(x) = 3(2x+1)^2(2)(x-5)^2 + (2x+1)^3(2)(x-5) \)

Simplifié : \( 2(2x+1)^2(x-5)[3(x-5) + (2x+1)] = 2(2x+1)^2(x-5)(5x-14) \)

Exercice 9 : \( h(x) = \sin(x^2) \) (Règle trigonométrique + de chaîne)

Réponse : \( h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2) \)

Pour aller plus loin