Trouvez l'aire d'un cercle de rayon \( a \) à l'aide des intégrales en analyse.
Résolution du problème
L'équation du cercle représenté ci-dessus est donnée par :
\[ x^2 + y^2 = a^2 \]Le cercle est symétrique par rapport aux axes x et y. Par conséquent, nous pouvons trouver l'aire d'un quart du cercle et la multiplier par 4 pour obtenir l'aire totale du cercle.
Isolons \( y \) dans l'équation du cercle :
\[ y = \pm \sqrt{a^2 - x^2} \]L'équation du demi-cercle supérieur (\( y \ge 0 \)) est donnée par :
\[ y = \sqrt{a^2 - x^2} \]Mettons \( a^2 \) en facteur sous le radical :
\[ y = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)} \]Sortons \( a^2 \) de sous le radical :
\[ y = a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]Nous utilisons des intégrales définies pour trouver l'aire du quart supérieur droit du cercle :
Utilisons la substitution trigonométrique en posant \( \sin t = \frac{x}{a} \), ce qui donne \( x = a \sin t \) et \( dx = a \cos t \, dt \). L'intégrale devient :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire du cercle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \, dt \]Utilisons maintenant l'identité trigonométrique :
\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]ce qui donne \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) (puisque \( t \) varie de \( 0 \) à \( \pi/2 \)). Par conséquent :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire du cercle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 t \, dt \]Utilisons l'identité de réduction de puissance \( \cos^2 t = \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \) pour linéariser l'intégrande :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire du cercle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \left( \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \right) dt \]Évaluons l'intégrale :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire du cercle} = \dfrac{1}{2} a^2 \left[ \dfrac{1}{2} \sin(2t) + t \right]_0^{\pi/2} \]Simplifions :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire du cercle} = \dfrac{1}{4} \pi a^2 \]L'aire totale du cercle s'obtient en multipliant l'aire du quart de cercle par 4 :