Trouvez l'aire d'une ellipse à l'aide des intégrales et de l'analyse.
Résolution du problème
L'équation de l'ellipse représentée ci-dessus peut s'écrire sous la forme :
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]Puisque l'ellipse est symétrique par rapport aux axes \( x \) et \( y \), nous pouvons trouver l'aire d'un quart et la multiplier par 4 afin d'obtenir l'aire totale.
Isolons \( y \) dans l'équation ci-dessus :
\[ y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]La partie supérieure de l'ellipse (\( y \) positif) est donnée par :
\[ y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]Nous utilisons maintenant des intégrales définies pour trouver l'aire du quart supérieur droit de l'ellipse :
Effectuons maintenant la substitution trigonométrique \( \sin t = \dfrac{x}{a} \), ce qui donne \( x = a \sin t \) et \( dx = a \cos t \, dt \). L'intégrale devient :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire de l'ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left(\sqrt{1 - \sin^2 t}\right) \cos t \, dt \]Puisque \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) pour \( t \) variant de \( 0 \) à \( \dfrac{\pi}{2} \), nous avons :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire de l'ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \]Utilisons l'identité de réduction de puissance \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \) pour linéariser l'intégrande :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire de l'ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \right) dt \]Évaluons l'intégrale :
\[ \dfrac{1}{4} \text{Aire de l'ellipse} = \dfrac{1}{2} ab \left[ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{4} \pi ab \]Obtenons l'aire totale de l'ellipse en la multipliant par 4 :