Intégrales impropres avec intervalles infinis

Définitions, exemples résolus étape par étape, exercices d'entraînement et solutions

Définissez et calculez des intégrales impropres avec des limites d'intégration infinies à travers des exemples accompagnés de solutions détaillées et d'explications. D'autres exercices avec solutions sont inclus.

Définition des intégrales impropres avec intervalles infinis [1] [2]

Nous considérons 3 types d'intégrales comportant un ou des intervalles infinis :

1 - La limite supérieure de l'intégrale est infinie

Une intégrale de la forme \( \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \, dx \) existe et est convergente si \( \int_a^{b} f(x) \, dx \) existe pour tout \( b \ge a \) et si la limite :

\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]

existe et est finie. Nous écrivons alors :

\[ \int_a^{\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]

2 - La limite inférieure de l'intégrale est infinie

Une intégrale de la forme \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \) existe et est convergente si \( \int_b^{a} f(x) \, dx \) existe pour tout \( b \le a \) et si la limite :

\[ \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]

existe et est finie. Nous écrivons alors :

\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]

3 - Les deux limites de l'intégrale sont infinies

Une intégrale de la forme \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \) existe et est convergente si les deux intégrales :

\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \quad \text{et} \quad \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]

sont convergentes pour tout nombre réel \( a \). Nous écrivons alors :

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^a f(x) \, dx + \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]

Remarque : L'intervalle d'intégration est coupé en \( x = a \), ce qui donne la somme de deux intégrales n'ayant chacune qu'une seule limite infinie.

Fonction échelon unité
Figure 1. Référence de la fonction échelon unité.

Exemples et solutions

Exemple 1

Évaluez l'intégrale ci-dessous si possible :

\[ \int_1^{\infty} x \, dx \]

Exemple 2

L'intégrale ci-dessous est-elle convergente ou divergente ? Évaluez-la si elle est convergente.

\[ \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx \]

Exemple 3

Évaluez l'intégrale ci-dessous si possible :

\[ \int_{-\infty}^0 \dfrac{1}{\sqrt{2 - 3x}} \, dx \]

Exemple 4

Évaluez l'intégrale ci-dessous si possible :

\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx \]

Exemple 5

Pour quelles valeurs de \( p \) l'intégrale :

\[ \int_{e}^{\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx \]

est-elle convergente ? Trouvez sa valeur en fonction de \( p \).

Exercices

Évaluez chacune des intégrales suivantes si possible :

  1. \( \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(4x+1)^2} \, dx \)
  2. \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x}{1+x^2} \, dx \)
  3. \( \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} e^{2x} \, dx \)
  4. \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{7x^2}{3+x^6} \, dx \)
  5. \( \displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{e^{2x}}{e^{4x}+3} \, dx \)

Plus de références et de liens

  1. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  3. Intégrales et leurs applications en analyse