Tutoriels avec des exemples, des solutions détaillées et des exercices avec réponses sur l'utilisation de la puissante technique d'intégration par substitution pour trouver des intégrales.
Rappel sur l'intégration par substitution
La méthode de l'intégration par substitution peut être utilisée pour calculer facilement des intégrales complexes. Examinons une intégrale de la forme :
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx \]Faisons la substitution \( u = g(x) \), d'où \( \dfrac{du}{dx} = g'(x) \) et \( du = g'(x) \, dx \). Avec cette substitution, l'intégrale définie se transforme en :
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du \]Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration ajoutée aux intégrales indéfinies.
Exemples et leurs solutions
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Exemple 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin(ax + b) \, dx \)
Posons \( u = ax + b \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = a \) ou \( dx = \dfrac{1}{a} \, du \). La substitution permet de calculer l'intégrale comme suit :
\[ \begin{aligned} \int \sin(ax + b) \, dx &= \dfrac{1}{a} \int \sin(u) \, du \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(u) + C \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(ax + b) + C \end{aligned} \]Exemple 2 : Évaluez \( \displaystyle \int e^{3x - 2} \, dx \)
Posons \( u = 3x - 2 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) ou \( dx = \dfrac{1}{3} \, du \). D'où :
\[ \begin{aligned} \int e^{3x - 2} \, dx &= \int e^u \cdot \dfrac{1}{3} \, du \\ &= \dfrac{1}{3} e^u + C \\ &= \dfrac{1}{3} e^{3x - 2} + C \end{aligned} \]Exemple 3 : Évaluez \( \displaystyle \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx \)
Posons \( u = 2x^2 + 5 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 4x \), \( du = 4x \, dx \), ou \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \). La substitution donne :
\[ \begin{aligned} \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx &= \int \dfrac{1}{4} u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{20} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C \end{aligned} \]Exemple 4 : Évaluez \( \displaystyle \int x \sqrt{2x + 1} \, dx \)
Posons \( u = 2x + 1 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) et \( dx = \dfrac{1}{2} \, du \). Résolvons \( u = 2x + 1 \) par rapport à \( x \) pour obtenir \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \). La substitution donne :
\[ \begin{aligned} \int x \sqrt{2x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2}{5} u^{5/2} - \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right) + C \\ &= \dfrac{(2x + 1)^{3/2} (3x - 1)}{15} + C \end{aligned} \]Exemple 5 : Évaluez \( \displaystyle \int (x - 5)^{-4} \, dx \)
Posons \( u = x - 5 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 1 \). En substituant dans l'intégrale donnée :
\[ \begin{aligned} \int (x - 5)^{-4} \, dx &= \int u^{-4} \, du \\ &= -\dfrac{1}{3} u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{3} (x - 5)^{-3} + C \end{aligned} \]Exemple 6 : Évaluez \( \displaystyle \int -x e^{x^2 + 2} \, dx \)
Posons \( u = x^2 + 2 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) et \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \). En substituant dans l'intégrale :
\[ \begin{aligned} \int -x e^{x^2 + 2} \, dx &= \int -e^u \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} \int e^u \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} e^u + C \\ &= -\dfrac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C \end{aligned} \]Exemple 7 : Évaluez \( \displaystyle \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx \)
Posons \( u = \sin(x) \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) ou \( \cos(x) \, dx = du \). En substituant dans l'intégrale :
\[ \begin{aligned} \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{5} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{5} \sin^5(x) + C \end{aligned} \]Exemple 8 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx \)
Posons \( u = 4x + 1 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) ou \( dx = \dfrac{1}{4} \, du \). En résolvant pour \( x \), on obtient \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \). Substituons pour obtenir :
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx &= \int 3 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{u - 1}{u} \, du \\ &= \dfrac{3}{16} \int \left( 1 - \dfrac{1}{u} \right) du \\ &= \dfrac{3}{16} (u - \ln|u|) + C \\ &= \dfrac{3}{16} \bigl( 4x + 1 - \ln|4x + 1| \bigr) + C \end{aligned} \]Exemple 9 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx \)
Posons \( u = x - 2 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \), et \( x = u + 2 \). La substitution donne :
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx &= \int \dfrac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du \\ &= \int \left(u^{1/2} + 2u^{-1/2}\right) du \\ &= \dfrac{2}{3} u^{3/2} + 4\sqrt{u} + C \\ &= \dfrac{2}{3} (x - 2)^{3/2} + 4\sqrt{x - 2} + C \end{aligned} \]Exemple 10 : Évaluez \( \displaystyle \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx \)
Posons \( u = x + 2 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \), et \( x = u - 2 \) (donc \( x + 4 = u + 2 \)). En substituant ceci :
\[ \begin{aligned} \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx &= \int u^3 (u + 2)^2 \, du \\ &= \int u^3 (u^2 + 4u + 4) \, du \\ &= \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \\ &= \dfrac{1}{6} u^6 + \dfrac{4}{5} u^5 + u^4 + C \\ &= \dfrac{1}{6} (x + 2)^6 + \dfrac{4}{5} (x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C \end{aligned} \]Exemple 11 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx \)
Posons \( u = x^2 + 3x + 1 \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) ou \( (2x + 3) \, dx = du \). La substitution calcule l'intégrale comme suit :
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{u} \, du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \ln|x^2 + 3x + 1| + C \end{aligned} \]Exercices
Utilisez la table des intégrales et la méthode de l'intégration par substitution pour trouver les intégrales ci-dessous :
- \( \displaystyle \int \cos(3x - 2) \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^{4x - 7} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x(4x^2 + 5)^4 \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{(x + 3)^3} \, dx \)
Réponses aux exercices ci-dessus
- \( \dfrac{1}{3} \sin(3x - 2) + C \)
- \( \dfrac{1}{4} e^{4x - 7} + C \)
- \( \dfrac{1}{40} (4x^2 + 5)^5 + C \)
- \( -\dfrac{1}{2(x + 3)^2} + C \)