Des exemples avec des solutions détaillées et des exercices avec des réponses sur l'utilisation de la technique de l'intégration par parties pour trouver des intégrales sont présentés.
Rappel sur l'intégration par parties
La méthode de l'intégration par parties peut être utilisée pour intégrer facilement des produits de fonctions. L'idée principale de l'intégration par parties part de la dérivée du produit de deux fonctions \( u \) et \( v \) telle que donnée par :
\[ \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} = \dfrac{du}{dx} v + u \dfrac{dv}{dx} \]Réécrivons l'équation ci-dessus sous la forme :
\[ u \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} - \dfrac{du}{dx} v \]Prenons l'intégrale des deux côtés de l'équation :
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]En remarquant que \( \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx = uv \), l'expression se simplifie pour obtenir la règle de l'intégration par parties :
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = u v - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]Remarque : le choix de la fonction de l'intégrande désignée comme \( u \) et de celle désignée comme \( \dfrac{dv}{dx} \) doit simplifier l'intégrale du côté droit de la formule.
Exemples avec solutions détaillées
Dans ce qui suit, \( c \) est une constante d'intégration.
Cliquez sur chaque exemple pour afficher sa solution détaillée.
Exemple 1 : Évaluez \( \displaystyle \int 3x e^x \, dx \)
Solution de l'exemple 1 :
\( 3 \) est une constante et peut par conséquent être sorti du signe d'intégration.
Posons \( u = x \) et \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), d'où \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) et \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \). En utilisant la méthode de l'intégration par parties :
\[ \begin{aligned} \int 3x e^x \, dx &= 3 \int x e^x \, dx \\ &= 3 \left( x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx \right) \\ &= 3x e^x - 3e^x + c \end{aligned} \]Exemple 2 : Évaluez \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \)
Solution de l'exemple 2 :
Posons \( u = x \) et \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \), d'où \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) et \( v = -\cos(x) \). En appliquant l'intégration par parties :
\[ \begin{aligned} \int x \sin(x) \, dx &= x(-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \sin(x) + c \end{aligned} \]Exemple 3 : Calculez \( \displaystyle \int x^2 \cos x \, dx \)
Solution de l'exemple 3 :
Posons \( u = x^2 \) et \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \), d'où \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) et \( v = \sin(x) \). Appliquons l'intégration par parties :
\[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \, dx \qquad (I) \]Nous appliquons maintenant l'intégration par parties à l'intégrale restante \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \). Comme évalué dans l'exemple 2, \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) \). En substituant cela :
\[ \begin{aligned} &= x^2 \sin(x) - 2(-x \cos(x) + \sin(x)) + c \\ &= x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2\sin(x) + c \end{aligned} \]Exemple 4 : Évaluez \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)
Solution de l'exemple 4 :
Posons \( u = \ln(x) \) et \( \dfrac{dv}{dx} = x \), d'où \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) et \( v = \dfrac{x^2}{2} \). Appliquons l'intégration par parties :
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{1}{4} x^2 + c \end{aligned} \]Exemple 5 : Calculez \( \displaystyle \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx \)
Solution de l'exemple 5 :
Posons \( u = x \) et \( \dfrac{dv}{dx} = \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \), d'où \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) et \( v = 3 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) \) :
\[ \begin{aligned} \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx &= x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 3 \left( -3 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \right) + c \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \end{aligned} \]Exemple 6 : Utilisez l'intégration par parties pour évaluer \( \displaystyle \int \ln x \, dx \)
Solution de l'exemple 6 :
Réécrivons d'abord l'intégrande \( \ln(x) \) sous la forme \( 1 \cdot \ln(x) \) :
\[ \int \ln(x) \, dx = \int 1 \cdot \ln(x) \, dx \]Posons \( u = \ln(x) \) et \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \), d'où \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) et \( v = x \). En utilisant l'intégration par parties :
\[ \begin{aligned} \int 1 \cdot \ln(x) \, dx &= x \ln(x) - \int x \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right) dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + c \end{aligned} \]Exemple 7 : Utilisez l'intégration par parties pour évaluer \( \displaystyle \int x^2 (\ln x)^2 \, dx \)
Solution de l'exemple 7 :
Posons \( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) et \( u = (\ln x)^2 \), d'où \( v = \dfrac{x^3}{3} \) et \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \). En utilisant l'intégration par parties :
\[ \begin{aligned} \int x^2 (\ln x)^2 \, dx &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \ln x \, dx \end{aligned} \]Appliquons maintenant l'intégration par parties une deuxième fois sur \( \int x^2 \ln x \, dx \) (où \( w = \ln x, \dfrac{dz}{dx} = x^2 \implies w' = \dfrac{1}{x}, z = \dfrac{x^3}{3} \)) :
\[ \begin{aligned} &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{x^3}{3} \ln x - \int \dfrac{x^3}{3} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right) \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{9} \int x^2 \, dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{27} x^3 + c \end{aligned} \]Exemple 8 : Évaluez \( \displaystyle \int e^x \sin(2x) \, dx \)
Solution de l'exemple 8 :
Posons \( I = \int e^x \sin(2x) \, dx \).
Posons \( v = \sin(2x) \) et \( \dfrac{du}{dx} = e^x \), d'où \( \dfrac{dv}{dx} = 2\cos(2x) \) et \( u = e^x \). En utilisant l'intégration par parties :
\[ \int e^x \sin(2x) \, dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2\cos(2x) \, dx \] \[ = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cos(2x) \, dx \]Appliquons à nouveau l'intégration par parties sur \( \int e^x \cos(2x) \, dx \) (posons \( w = \cos(2x), \dfrac{dz}{dx} = e^x \implies w' = -2\sin(2x), z = e^x \)) :
\[ = e^x \sin(2x) - 2 \left( e^x \cos(2x) - \int e^x(-2\sin(2x)) \, dx \right) \] \[ = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4 \int e^x \sin(2x) \, dx \]Puisque l'intégrale du côté droit est \( I \), nous avons :
\[ I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4I \]En isolant \( I \) :
\[ 5I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) \] \[ \int e^x \sin(2x) \, dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c \]Exercices
Utilisez la table des intégrales et la méthode de l'intégration par parties pour trouver les intégrales ci-dessous. [Notez que vous devrez peut-être utiliser la méthode de l'intégration par parties plus d'une fois].
- \( \displaystyle \int x \cos(x) \, dx \)
- \( \displaystyle \int x e^{2x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^{1/3} \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^3 \cos x \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^2 e^{-3x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^x \cos(2x) \, dx \)
Réponses aux exercices ci-dessus
- \( x \sin(x) + \cos(x) + c \)
- \( \dfrac{x}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{4} e^{2x} + c \)
- \( \dfrac{3}{4} x^{4/3} \ln(x) - \dfrac{9}{16} x^{4/3} + c \)
- \( -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + c \)
- \( 3(x^2 - 2) \cos(x) + (x^3 - 6x) \sin(x) + c \)
- \( -\dfrac{1}{27} (9x^2 + 6x + 2) e^{-3x} + c \)
- \( \dfrac{1}{5} (e^x \cos(2x) + 2e^x \sin(2x)) + c \)