Tutoriel pour trouver des intégrales impliquant le produit de puissances de \( \sin(x) \) et \( \cos(x) \) avec l'une des deux ayant une puissance impaire. Des exemples et des exercices avec solutions sont inclus.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration.
Exemples avec solutions détaillées
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Exemple 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \)
Solution de l'exemple 1 :
L'idée principale est de réécrire l'intégrale en séparant le terme ayant la puissance impaire en le produit d'une puissance paire et d'une puissance simple de 1 :
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]Par conséquent, l'intégrale donnée peut s'écrire :
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]Nous utilisons maintenant l'identité pythagoricienne \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) et substituons :
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]Posons \( u = \cos(x) \), ce qui donne \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) ou \( -du = \sin(x) \, dx \). En substituant cela dans l'intégrale :
\[ = -\int (1 - u^2) u^2 \, du \]Développez et calculez l'intégrale :
\[ = \int (u^4 - u^2) \, du = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \]Remplacez \( u \) par \( \cos(x) \) :
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]Exemple 2 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx \)
Solution de l'exemple 2 :
Réécrivez \( \cos^5(x) \) sous la forme \( \cos^4(x) \cos(x) \) :
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) \, dx \]Utilisez l'identité \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) pour réécrire \( \cos^4(x) \) en fonction des puissances de \( \sin(x) \) :
\[ = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) \, dx \]Posons \( u = \sin(x) \), ce qui donne \( du = \cos(x) \, dx \). En substituant dans l'intégrale :
\[ = \int u^{12} (1 - u^2)^2 \, du \]Développez l'intégrande :
\[ = \int u^{12} (1 - 2u^2 + u^4) \, du = \int (u^{12} - 2u^{14} + u^{16}) \, du \]Intégrez terme à terme :
\[ = \dfrac{1}{13}u^{13} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{17}u^{17} + C \]Remplacez \( u \) par \( \sin(x) \) :
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \dfrac{1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \]Exercices
Évaluez les intégrales suivantes. Cliquez sur chaque exercice pour afficher la solution détaillée étape par étape.
Exercice 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx \)
Solution :
Réécrivez \( \cos^3(x) = \cos^2(x)\cos(x) = (1 - \sin^2(x))\cos(x) \) :
\[ \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx = \int (1 - \sin^2(x))\sin^2(x) \cos(x) \, dx \]Posons \( u = \sin(x) \), \( du = \cos(x) \, dx \) :
\[ = \int (1 - u^2)u^2 \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - \dfrac{1}{5}u^5 + C \]Remplacez \( u \) par \( \sin(x) \) :
\[ = \dfrac{1}{3}\sin^3(x) - \dfrac{1}{5}\sin^5(x) + C \]Exercice 2 : Évaluez \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx \)
Solution :
Réécrivez \( \sin^3(x) = \sin^2(x)\sin(x) = (1 - \cos^2(x))\sin(x) \) :
\[ \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))\cos^{14}(x) \sin(x) \, dx \]Posons \( u = \cos(x) \), \( du = -\sin(x) \, dx \implies -du = \sin(x) \, dx \) :
\[ = -\int (1 - u^2)u^{14} \, du = \int (u^{16} - u^{14}) \, du = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{1}{15}u^{15} + C \]Remplacez \( u \) par \( \cos(x) \) :
\[ = \dfrac{1}{17}\cos^{17}(x) - \dfrac{1}{15}\cos^{15}(x) + C \]