Calculez des intégrales à l'aide de substitutions trigonométriques avec des exemples, des solutions détaillées et des explications. D'autres exercices avec solutions sont également présentés au bas de la page.
Dans tous les exemples et exercices, \( c \) représente la constante d'intégration.
Identités trigonométriques pour simplifier les racines carrées
Partez de l'identité trigonométrique :
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad (I) \]Réécrivez l'identité ci-dessus sous la forme :
\[ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \]Prenez la racine carrée des deux côtés pour obtenir :
\[ \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \qquad (I') \]Divisez tous les termes de l'identité \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) par \( \cos^2 x \) (ou réorganisez) pour obtenir une autre identité donnée par :
\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad (II) \]Prenez la racine carrée des deux côtés de l'identité ci-dessus pour obtenir :
\[ \sqrt{\tan^2 x + 1} = |\sec x| \qquad (II') \]L'identité (II) peut également s'écrire :
\[ \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \]Prenez la racine carrée des deux côtés de l'identité ci-dessus pour obtenir :
\[ \sqrt{\sec^2 x - 1} = |\tan x| \qquad (III') \]A - Calculer des intégrales impliquant des expressions de la forme \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \)
Étant donné l'expression :
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \]Mettez \( a^2 \) en facteur sous la racine carrée et sortez \( |a| \) de la racine carrée :
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = \sqrt{a^2 \left( 1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2 \right)} = |a| \sqrt{1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2} \]Effectuez la substitution :
\[ \sin t = \dfrac{bx}{a} \]et réécrivez l'expression \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \) sous la forme :
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = |a| \sqrt{1 - \sin^2 t} = |a| |\cos t| \]Exemple 1 : Calculez l'intégrale \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx \)
Solution de l'exemple 1 :
Réécrivez l'expression \( \sqrt{16 - 4x^2} \) au dénominateur de l'intégrande sous la forme :
\[ \sqrt{16 - 4x^2} = \sqrt{16\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)} = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \]Substitution trigonométrique : Posons \( \dfrac{x}{2} = \sin t \) ou \( x = 2\sin t \), ce qui donne \( \dfrac{dx}{dt} = 2\cos t \) ou \( dx = 2\cos t \, dt \) ; l'intégrale devient :
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \int \dfrac{(2\sin t)^2}{4\sqrt{1 - \sin^2 t}} (2\cos t) \, dt \]Simplifiez à l'aide de l'identité \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \) :
\[ = 2 \int \dfrac{\sin^2 t}{|\cos t|} \cos t \, dt \]Puisque l'intégrale est indéfinie, nous pouvons supposer que \( \cos t \geq 0 \), donc \( |\cos t| = \cos t \) :
\[ = 2 \int \sin^2 t \, dt \]Utilisez l'identité trigonométrique \( \sin^2 t = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \) :
\[ = 2 \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \, dt = \int (1 - \cos 2t) \, dt \]Évaluez l'intégrale :
\[ = t - \dfrac{1}{2}\sin(2t) + C \]Puisque \( \dfrac{x}{2} = \sin t \), \( t = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) \). Remplacez pour obtenir la réponse finale :
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2 \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) + C \]B - Calculer des intégrales impliquant des expressions de la forme \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \)
Étant donné l'expression :
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \]Mettez \( b^2 \) en facteur sous la racine carrée et sortez \( |b| \) de la racine carrée :
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1} \]Effectuez la substitution :
\[ \tan t = \dfrac{bx}{a} \]et réécrivez l'expression \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \) sous la forme :
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = |b| \sqrt{\tan^2 t + 1} = |b| |\sec t| \]Exemple 2 : Calculez l'intégrale \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx \)
Solution de l'exemple 2 :
Réécrivez l'expression \( \sqrt{25x^2 + 4} \) au numérateur sous la forme :
\[ \sqrt{25x^2 + 4} = \sqrt{4\left(\dfrac{25x^2}{4} + 1\right)} = 2 \sqrt{\left(\dfrac{5x}{2}\right)^2 + 1} \]Substitution trigonométrique : Posons \( \dfrac{5x}{2} = \tan t \) ou \( x = \dfrac{2}{5}\tan t \), ce qui donne \( dx = \dfrac{2}{5}\sec^2 t \, dt \) ; l'intégrale est donnée par :
\[ \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx = \int \dfrac{2\sqrt{\tan^2 t + 1}}{\left(\dfrac{2}{5}\tan t\right)^4} \left(\dfrac{2}{5}\sec^2 t\right) dt \]Simplifiez à l'aide de \( \sqrt{\tan^2 t + 1} = |\sec t| \) :
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{|\sec t|}{\tan^4 t} \sec^2 t \, dt \]En supposant que \( \sec t \geq 0 \), \( |\sec t| = \sec t \) :
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\sec^3 t}{\tan^4 t} \, dt \]Réécrivez en fonction de \( \sin t \) et \( \cos t \) :
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\cos t}{\sin^4 t} \, dt \]Substitution : Posons \( w = \sin t \), de sorte que \( dw = \cos t \, dt \) :
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{1}{w^4} \, dw \]Calculez à l'aide de la règle des puissances :
\[ = -\dfrac{125}{12 w^3} + C \]Remplaçons en arrière \( w = \sin t \) et \( t = \arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right) \) :
\[ = -\dfrac{125}{12} \cdot \dfrac{1}{\left(\sin\left(\arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right)\right)\right)^3} + C \]À l'aide de l'identité \( \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \), nous simplifions en :
\[ = -\dfrac{\sqrt{(25x^2 + 4)^3}}{12x^3} + C \]C - Calculer des intégrales impliquant des expressions de la forme \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \)
Étant donné l'expression :
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \]Mettez \( b^2 \) en facteur sous la racine carrée et sortez \( |b| \) de la racine carrée :
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1} \]Effectuez la substitution :
\[ \sec t = \dfrac{bx}{a} \]et réécrivez l'expression \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \) sous la forme :
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = |b| \sqrt{\sec^2 t - 1} = |b| |\tan t| \]Exemple 3 : Calculez l'intégrale \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx \)
Solution de l'exemple 3 :
Réécrivez l'expression \( \sqrt{4x^2 - 9} \) au dénominateur sous la forme :
\[ \sqrt{4x^2 - 9} = \sqrt{9\left(\dfrac{4x^2}{9} - 1\right)} = 3 \sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} \]Substitution trigonométrique : Posons \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \) ou \( x = \dfrac{3}{2}\sec t \), ce qui donne \( dx = \dfrac{3}{2}\sec t \tan t \, dt \) ; l'intégrale est :
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx = \int \dfrac{1}{3\sqrt{\sec^2 t - 1}} \left(\dfrac{3}{2}\sec t \tan t\right) dt \]Simplifiez à l'aide de \( \sqrt{\sec^2 t - 1} = |\tan t| \) :
\[ = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{|\tan t|} \sec t \tan t \, dt \]En supposant que \( \tan t \geq 0 \), \( |\tan t| = \tan t \) :
\[ = \dfrac{1}{2} \int \sec t \, dt \]C'est une intégrale standard connue :
\[ = \dfrac{1}{2} \ln|\tan t + \sec t| + C \]Puisque \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \), nous avons \( t = \text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right) \). En substituant en arrière :
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right)\right) + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]À l'aide de l'identité \( \tan(\text{arcsec}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} \), nous simplifions en :
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]Exercices
Calculez les intégrales suivantes. Cliquez sur chaque exercice pour afficher la solution détaillée étape par étape.
Exercice 1 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 2x^2}} \, dx \)
Solution :
Réécrivez le dénominateur sous la forme \( \sqrt{9\left(1 - \dfrac{2x^2}{9}\right)} = 3\sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)^2} \).
Posons \( \dfrac{\sqrt{2}}{3}x = \sin t \implies x = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\sin t \), \( dx = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t \, dt \).
La substitution et la simplification donnent :
\[ \dfrac{9}{4\sqrt{2}} \left( \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right) \right) + C \]Exercice 2 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x^4} \, dx \)
Solution :
Posons \( 3x = \tan t \implies x = \dfrac{1}{3}\tan t \), \( dx = \dfrac{1}{3}\sec^2 t \, dt \).
La substitution dans l'intégrale et la simplification conduisent à :
\[ -\dfrac{(1 + 9x^2)^{3/2}}{3x^3} + C \]Exercice 3 : Évaluez \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9x^2 - 36}} \, dx \)
Solution :
Réécrivez le dénominateur sous la forme \( \sqrt{9(x^2 - 4)} = 3\sqrt{x^2 - 4} \).
Posons \( \dfrac{x}{2} = \sec t \implies x = 2\sec t \), \( dx = 2\sec t \tan t \, dt \).
L'évaluation de l'intégrale donne :
\[ \dfrac{1}{3}\ln\left(\dfrac{\left|\sqrt{x^2 - 4} + x\right|}{2}\right) + C \]