Les problèmes de taux de variation en analyse et leurs solutions détaillées sont présentés ci-dessous.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Exemples résolus
Problème 1
Un réservoir d'eau rectangulaire (voir la figure ci-dessous) est rempli à un taux constant de \( 20 \) litres par seconde. La base du réservoir a pour dimensions \( w = 1 \) mètre et \( L = 2 \) mètres. Quel est le taux de variation de la hauteur d'eau dans le réservoir ? (Exprimez la réponse en cm/s).
Afficher la solution du problème 1
Le volume \( V \) d'eau dans le réservoir est donné par :
\[ V = w \times L \times H \]Nous connaissons le taux de variation du volume \( \dfrac{dV}{dt} = 20 \) litres/s. Nous devons trouver le taux de variation de la hauteur \( H \), qui est \( \dfrac{dH}{dt} \). Puisque \( V \) et \( H \) sont des fonctions du temps \( t \), nous dérivons les deux côtés de la formule du volume par rapport à \( t \) :
\[ \frac{dV}{dt} = w \times L \times \frac{dH}{dt} \]Remarque : \( w \) et \( L \) ne changent pas avec le temps et sont donc traités comme des constantes lors de la dérivation.
En isolant \( \dfrac{dH}{dt} \) :
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\dfrac{dV}{dt}}{w \times L} \]Nous convertissons les unités en centimètres et centimètres cubes :
- \( 1 \) litre = \( 1 \) décimètre cube = \( 1000 \; \text{cm}^3 \)
- \( 1 \) mètre = \( 100 \; \text{cm} \)
En substituant les valeurs :
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{20 \times 1000 \; \text{cm}^3/\text{s}}{100 \; \text{cm} \times 200 \; \text{cm}} = \frac{20\,000}{20\,000} = 1 \; \text{cm/s} \]Problème 2
Un avion vole en ligne droite à une altitude constante de \( 5000 \) mètres (voir la figure ci-dessous). L'angle d'élévation de l'avion depuis un point d'observation fixe est \( a \). La vitesse de l'avion est de \( 500 \) km/h. Quel est le taux de variation de l'angle \( a \) lorsqu'il vaut \( 25^\circ \) ? (Exprimez la réponse en degrés par seconde et arrondissez à une décimale).
Afficher la solution du problème 2
L'avion vole horizontalement à un taux de \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/h} \). Par trigonométrie, nous relions l'angle \( a \), la hauteur \( h \) et la distance horizontale \( x \) :
\[ \tan a = \frac{h}{x} \]Puisque \( a \) et \( x \) sont des fonctions du temps \( t \), nous dérivons les deux côtés par rapport à \( t \) :
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} \]En utilisant la règle de dérivation en chaîne :
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = (\sec^2 a) \frac{da}{dt} \] \[ \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} = h \left(-\frac{1}{x^2}\right) \frac{dx}{dt} \quad (\text{puisque } h \text{ est constante}) \]En égalant les deux dérivées :
\[ (\sec^2 a) \frac{da}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt} \implies \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} \]De \( \tan a = \dfrac{h}{x} \), nous avons \( x = \dfrac{h}{\tan a} \). En substituant \( x^2 = \dfrac{h^2}{\tan^2 a} \) :
\[ \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h \tan^2 a}{h^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} = -\frac{\tan^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \cdot \cos^2 a = -\frac{\sin^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \]En utilisant les conversions d'unités (\( 1 \; \text{km} = 1000 \; \text{m} \), \( 1 \; \text{heure} = 3600 \; \text{s} \)), la vitesse \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/h} = \dfrac{500\,000 \; \text{m}}{3600 \; \text{s}} \), la hauteur \( h = 5000 \; \text{m} \) et \( a = 25^\circ \) :
\[ \frac{da}{dt} = -\frac{\sin^2(25^\circ)}{5000} \left(\frac{500\,000}{3600}\right) \approx -0,005 \; \text{radians/s} \]En convertissant les radians en degrés (\( 180/\pi \)) :
\[ \frac{da}{dt} = -0,005 \times \frac{180}{\pi} \approx -0,2865 \approx -0,3 \; \text{degrés/s} \]Problème 3
Si deux résistances de valeurs \( R_1 \) et \( R_2 \) sont connectées en parallèle comme indiqué sur la figure ci-dessous, leur comportement électrique est équivalent à une résistance de valeur \( R \) telle que :
\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]Si \( R_1 \) varie avec le temps à un taux \( \dfrac{dR_1}{dt} \) et que \( R_2 \) est constante, exprimez le taux de variation \( \dfrac{dR}{dt} \) en fonction de \( \dfrac{dR_1}{dt} \), \( R_1 \) et \( R_2 \).
Afficher la solution du problème 3
En dérivant les deux côtés de l'équation de résistance en parallèle par rapport au temps \( t \) (en notant que \( R_2 \) est constante) :
\[ -\frac{1}{R^2} \frac{dR}{dt} = -\frac{1}{R_1^2} \frac{dR_1}{dt} \]En isolant \( \dfrac{dR}{dt} \) :
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{R}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]De \( \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} \), nous pouvons exprimer \( R \) explicitement :
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]En substituant \( R \) dans l'équation de la dérivée :
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]Exercices et solutions
-
Trouvez une formule pour le taux de variation \( \dfrac{dV}{dt} \) du volume d'un ballon gonflé de telle sorte que son rayon \( R \) augmente à un taux égal à \( \dfrac{dR}{dt} \).
Afficher la solution de l'exercice 1
\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3R^2) \frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt} \] -
Trouvez une formule pour le taux de variation \( \dfrac{dA}{dt} \) de l'aire \( A \) d'un carré dont la longueur du côté \( x \) en centimètres varie à un taux égal à \( 2 \; \text{cm/s} \).
Afficher la solution de l'exercice 2
\[ A = x^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} = 2x(2) = 4x \; \text{cm}^2/\text{s} \] -
Deux voitures partent du même point dans deux directions formant un angle de \( 90^\circ \) à des vitesses constantes \( s_1 \) et \( s_2 \). Trouvez une formule pour le taux de variation de la distance \( D \) entre les deux voitures.
Afficher la solution de l'exercice 3
\[ D^2 = x^2 + y^2 \] En dérivant implicitement par rapport à \( t \) : \[ 2D \frac{dD}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} \implies \frac{dD}{dt} = \frac{x s_1 + y s_2}{D} \] Puisque \( x = s_1 t \), \( y = s_2 t \) et \( D = \sqrt{(s_1 t)^2 + (s_2 t)^2} = t\sqrt{s_1^2 + s_2^2} \) : \[ \frac{dD}{dt} = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} \]