En analyse, l'intégrale d'une fonction \( f(x) \) sur un intervalle \( [a, b] \) est définie comme une limite de sommes de Riemann.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Sommes de Riemann
Divisons l'intervalle \( [a, b] \) en \( n \) sous-intervalles, chacun de largeur \( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \). Nous pouvons ensuite choisir un point échantillon \( x_i \) dans chaque sous-intervalle \( [x_{i-1}, x_i] \) pour \( i = 1, 2, \ldots, n \).
La somme de Riemann associée à cette partition et à ce choix de points échantillons est donnée par :
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]L'intégrale comme une limite
La limite de la somme de Riemann, lorsque \( n \) tend vers l'infini, est définie comme l'intégrale définie de \( f(x) \) sur \( [a, b] \), notée par :
\[ \int_a^b f(x) \; dx = \lim_{n\to\infty} R_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]