Maximum et minimum absolus d'une fonction

Lorsque \(f'(x_0) = 0\) et que le signe de \(f'(x)\) change, \(x_0\) peut correspondre à un maximum ou un minimum local (et éventuellement absolu).

Des extrema peuvent se produire là où la dérivée n'existe pas.

Considérons \(f(x) = x^3 - 2x^2\) sur \([-1, 5/2]\). Des extrema locaux existent, mais les extrema absolus se produisent aux bornes :

Trouver le maximum et le minimum absolus de la fonction \( f \) définie par \[ f(x) = - x^2 + 2 x - 2 \;\; \text{sur} \;\; [-2 , 3] \].

Solution de l'exemple 4

Étape 1 : Calculer la première dérivée
Pour trouver le maximum et le minimum absolus de la fonction, nous commençons par calculer la première dérivée de \(f(x) = -x^2 + 2x - 2\) :
\[ f'(x) = -2x + 2 \]

Étape 2 : Déterminer les points critiques
Poser la dérivée égale à zéro pour trouver les points critiques :
\[ -2x + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
Puisque la première dérivée est définie pour tout \(x\) dans l'intervalle \([-2, 3]\), et que \(x = 1\) se trouve dans cet intervalle, c'est un point critique valide.

Étape 3 : Évaluer la fonction aux bornes et aux points critiques
Maintenant, évaluez la fonction d'origine aux bornes et au point critique \(x = 1\) :
\[ f(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) - 2 = -4 - 4 - 2 = -10 \]
\[ f(1) = -(1)^2 + 2(1) - 2 = -1 + 2 - 2 = -1 \]
\[ f(3) = -(3)^2 + 2(3) - 2 = -9 + 6 - 2 = -5 \]

Conclusion :
- La valeur maximale absolue est \(f(1) = -1\), qui se produit en \(x = 1\).
- La valeur minimale absolue est \(f(-2) = -10\), qui se produit en \(x = -2\).

Le graphique ci-dessous illustre la fonction, montrant le point critique et les bornes, et mettant en évidence les valeurs minimale et maximale absolues :

Déterminer les valeurs maximale et minimale absolues de la fonction \( f(x) = \dfrac{1}{4} x^4 + \dfrac{1}{3} x^3 - x^2 \) sur l'intervalle fermé \( [-1, 1] \).

Solution de l'exemple 5

Étape 1 : Calculer la première dérivée

Dériver la fonction pour trouver ses points critiques :

\( f'(x) = x^3 + x^2 - 2x \)

Étape 2 : Trouver les points critiques en résolvant \( f'(x) = 0 \)

Poser la dérivée égale à zéro :

\( x^3 + x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(x - 1)(x + 2) = 0 \)

Les solutions sont \( x = 0 \), \( x = 1 \) et \( x = -2 \). Cependant, seuls \( x = 0 \) et \( x = 1 \) se trouvent dans l'intervalle \( [-1, 1] \). Les points critiques dans le domaine sont donc \( x = 0 \) et \( x = 1 \).

Étape 3 : Évaluer la fonction aux bornes et aux points critiques

• \( f(-1) = \dfrac{1}{4}(-1)^4 + \dfrac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{13}{12} \)
• \( f(0) = \dfrac{1}{4}(0)^4 + \dfrac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 = 0 \)
• \( f(1) = \dfrac{1}{4}(1)^4 + \dfrac{1}{3}(1)^3 - (1)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} - 1 = -\dfrac{5}{12} \)

Étape 4 : Identifier le maximum et le minimum absolus

• Valeur maximale absolue : \( f(0) = 0 \) en \( x = 0 \)
• Valeur minimale absolue : \( f(-1) = -\dfrac{13}{12} \) en \( x = -1 \)

Le graphique de la fonction \( f(x) \) est présenté ci-dessous, illustrant les points critiques, les bornes, ainsi que les emplacements du maximum et du minimum absolus.

Trouver les valeurs maximale et minimale absolues de la fonction \( f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \) sur l'intervalle fermé \( [0.5 , 2] \).

Solution de l'exemple 6

Étape 1 : Calculer la première dérivée

Nous dérivons en utilisant la règle du produit : \[ f(x) = x^2 \ln(x) - 1 \] \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}(x^2 \ln(x)) = 2x \ln(x) + x \]

Étape 2 : Trouver les points critiques

Poser la première dérivée égale à zéro : \[ f'(x) = 2x \ln(x) + x = x(2 \ln(x) + 1) = 0 \]

Résoudre :

• \( x = 0 \) (exclu car il n'est pas dans le domaine)
• \( 2 \ln(x) + 1 = 0 \Rightarrow \ln(x) = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Seul \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \) se trouve dans l'intervalle \( [0.5 , 2] \), c'est donc le seul point critique du domaine.

Étape 3 : Évaluer la fonction aux bornes et au point critique

• \( f(0.5) = (0.5)^2 \ln(0.5) - 1 = 0.25 \cdot (-0.6931) - 1 \approx -0.1733 - 1 = -1.1733 \)
• \( f(2) = (2)^2 \ln(2) - 1 = 4 \cdot 0.6931 - 1 = 2.772 - 1 = 1.772 \)
• \( f(e^{-1/2}) = (e^{-1}) \cdot (-\dfrac{1}{2}) - 1 = -\dfrac{1}{2e} - 1 \approx -0.1839 - 1 = -1.1839 \)

Réponse finale

• Valeur maximale absolue : \( \boxed{1.772} \) en \( x = 2 \)
• Valeur minimale absolue : \( \boxed{-1.1839} \) en \( x = e^{-1/2} \approx 0.6065 \)

Trouver les valeurs maximale et minimale absolues de la fonction \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) sur l'intervalle fermé \([-1.1 , 4]\).

Solution de l'exemple 7

Étape 1 : Réécrire et dériver la fonction

Utiliser l'identité \( |u| = \sqrt{u^2} \) pour réécrire la fonction :

\( f(x) = \sqrt{(x^2 - 2x - 3)^2} - x \)

Maintenant, dériver :

\( f'(x) = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2)}{\sqrt{(x^2-2x-3)^2}} - 1 = \dfrac{(x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3|}{|x^2-2x-3|} \)

Étape 2 : Trouver les points critiques

La dérivée n'est pas définie lorsque le dénominateur est nul :

Poser \( x^2 - 2x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( (x+1)(x-3) = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = -1 \) et \( x = 3 \)

Pour trouver où \( f'(x) = 0 \), résoudre :

\( (x^2-2x-3)(2x-2) - |x^2-2x-3| = 0 \)     (Équation 1)

Cas 1 : \( x^2 - 2x - 3 < 0 \)

Alors \( |x^2 - 2x - 3| = -(x^2 - 2x - 3) \), et l'équation 1 devient :

\( (x^2-2x-3)(2x-2) + (x^2-2x-3) = (x^2-2x-3)(2x-1) = 0 \)

Solutions : \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{1}{2} \)

Cas 2 : \( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

Alors \( |x^2 - 2x - 3| = x^2 - 2x - 3 \), et l'équation 1 devient :

\( (x^2-2x-3)(2x-3) = 0 \)

Solutions : \( x = -1 \), \( x = 3 \), \( x = \dfrac{3}{2} \)

Vérifier les points critiques

• \( x = -1 \), \( x = 3 \) : Dérivée non définie — points critiques.
• \( x = \dfrac{1}{2} \) : Remplacer dans le numérateur \(\Rightarrow\) le résultat est 0 \(\Rightarrow\) point critique valide.
• \( x = \dfrac{3}{2} \) : Remplacer dans le numérateur \(\Rightarrow\) différent de 0 \(\Rightarrow\) ce n'est pas un point critique.

Conclusion : Les points critiques de \( f(x) \) sont : \( x = -1 \), \( x = \dfrac{1}{2} \) et \( x = 3 \).

Étape 3 : Évaluer \( f(x) \) aux bornes et aux points critiques

• \( f(-1.1) = |(-1.1)^2 - 2(-1.1) - 3| - (-1.1) = 1.51 \)
• \( f(4) = |4^2 - 2 \cdot 4 - 3| - 4 = 1 \)
• \( f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \left| \dfrac{1}{4} - 1 - 3 \right| - \dfrac{1}{2} = \dfrac{13}{4} = 3.25 \)
• \( f(-1) = |1 + 2 - 3| + 1 = 1 \)
• \( f(3) = |9 - 6 - 3| - 3 = -3 \)

Réponse finale :

• Maximum absolu : \( f(x) = 3.25 \) en \( x = \dfrac{1}{2} \)
• Minimum absolu : \( f(x) = -3 \) en \( x = 3 \)

Graphique de la fonction

Le graphique de \( f(x) = |x^2 - 2x - 3| - x \) ci-dessous montre les points critiques et les bornes de l'intervalle \([-1.1 , 4]\), ainsi que les valeurs maximale et minimale absolues.

Trouver le maximum et le minimum absolus de la fonction \( f \) définie par \[ f(x) = (x-2)^{2/5} \;\; \text{sur} \;\; [-3 , 4] \].

Solution de l'exemple 8

Étape 1 : Calculer la première dérivée de la fonction
Étant donnée la fonction :
\( f(x) = (x - 2)^{2/5} \)

La première dérivée est :
\[ f'(x) = \dfrac{2}{5}(x - 2)^{-3/5} = \dfrac{2}{5(x - 2)^{3/5}} \]

Étape 2 : Identifier les points critiques
La dérivée \( f'(x) \) n'a pas de zéros car le numérateur est constant.
Cependant, la dérivée n'est pas définie lorsque le dénominateur est nul, c'est-à-dire lorsque \( x = 2 \).
Par conséquent, \( x = 2 \) est un point critique car la dérivée n'est pas définie en ce point.

Étape 3 : Évaluer \( f(x) \) aux bornes et au point critique
Calculer les valeurs de la fonction aux points clés de l'intervalle \([-3, 4]\) :

\[ f(-3) = ((-3) - 2)^{2/5} = (-5)^{2/5} \approx 1.90 \]
\[ f(4) = (4 - 2)^{2/5} = 2^{2/5} \approx 1.32 \]
\[ f(2) = (2 - 2)^{2/5} = 0^{2/5} = 0 \]

Étape 4 : Déterminer le maximum et le minimum absolus
D'après les évaluations ci-dessus :

• Minimum absolu : 0 en \( x = 2 \)
• Maximum absolu : environ 1,90 en \( x = -3 \)

Représentation graphique :
Le graphique de \( f(x) = (x - 2)^{2/5} \) sur l'intervalle \([-3, 4]\) confirme le point critique en \( x = 2 \), ainsi que les valeurs minimale et maximale absolues.