Apprenez à identifier les nombres critiques de divers types de fonctions — y compris les polynômes, les valeurs absolues, les expressions rationnelles et les radicaux — à l'aide des dérivées.
Définition des nombres critiques
Un nombre \( a \) dans le domaine d'une fonction \( f \) est appelé un nombre critique de \( f \) si :
Exemples étape par étape
Exemple 1 : Fonction polynomiale \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \)
Le domaine de \( f \) est l'ensemble de tous les nombres réels. Sa dérivée est :
\[ f'(x) = 3x^{2} - 3. \]Puisque \( f' \) est définie partout, résolvons \( f'(x) = 0 \) :
\[ 3x^{2} - 3 = 0 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1. \]À la fois \( x = 1 \) et \( x = -1 \) appartiennent au domaine, ce sont donc des nombres critiques.
Exemple 2 : Fonction valeur absolue \( f(x) = |x - 2| \)
Le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels. Puisque \( |u| = \sqrt{u^{2}} \) où \( u = x - 2 \), réécrivons \( f \) comme suit :
\[ f(x) = \sqrt{(x - 2)^{2}}. \]En utilisant la règle de dérivation en chaîne, la dérivée est :
\[ f'(x) = \dfrac{(x - 2)}{|x - 2|}. \]Remarquez que \( f' \) n'est pas définie en \( x = 2 \). Puisque \( 2 \) est dans le domaine, c'est un nombre critique.
Exemple 3 : Analyse graphique de la dérivée
Trouvez les nombres critiques d'une fonction \( f \) dont la dérivée \( f' \) est représentée graphiquement ci-dessous.
Les nombres critiques sont \( x = 1, -2, -3 \) où \( f'(x) = 0 \), et \( x = 0 \) où \( f' \) n'est pas définie.
Exemple 4 : Fonction rationnelle \( f(x) = \dfrac{x^{2} + 7}{x + 3} \)
Le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels sauf \( x = -3 \). En utilisant la règle du quotient, la dérivée est :
\[ f'(x) = \dfrac{2x(x + 3) - (x^{2} + 7)(1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x^{2} + 6x - 7}{(x + 3)^2}. \]En posant le numérateur égal à zéro :
\[ x^{2} + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0 \implies x = -7 \text{ ou } x = 1. \]Bien que \( f' \) ne soit pas définie en \( x = -3 \), \( -3 \) n'est pas dans le domaine, ce n'est donc pas un nombre critique. Par conséquent, les nombres critiques sont \( x = -7 \) et \( x = 1 \).
Exemple 5 : Fonction radicale \( f(x) = (x - 2)^{\dfrac{2}{3}} + 3 \)
Le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels. Sa dérivée est :
\[ f'(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3(x - 2)^{\dfrac{1}{3}}}. \]La dérivée n'est pas définie en \( x = 2 \), qui appartient au domaine. Ainsi, \( x = 2 \) est un nombre critique.
Exercices sur les nombres critiques
Trouvez les nombres critiques des fonctions suivantes :
- \( f(x) = 2x^{3} - 6x - 13 \)
- \( f(x) = |x + 4| + 3 \)
- \( f(x) = (x - 3)^{3} - 5 \)
- \( f(x) = x^{\dfrac{1}{3}} + 2 \)
- \( f(x) = \dfrac{x}{x + 4} \)
Réponses aux exercices
- \( 1, -1 \)
- \( -4 \)
- \( 3 \)
- \( 0 \)
- Aucun nombre critique