Cette page démontre comment utiliser la dérivation pour prouver l'importante identité trigonométrique : \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] pour toutes les valeurs de \( x \) dans le domaine \([-1, 1]\).
Aperçu de la méthode
Pour démontrer cette identité, nous définissons une fonction auxiliaire : \[ f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \] Nous allons montrer que \( f(x) \) est constante sur son domaine en calculant sa première dérivée et en démontrant qu'elle est égale à zéro partout sur l'intervalle ouvert \((-1, 1)\).
Démonstration étape par étape
Étape 1 : Calculer la première dérivée
Rappelez-vous les formules de dérivation standard pour le sinus inverse et le cosinus inverse :
- \( \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
En dérivant \( f(x) \) terme à terme, on obtient : \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] + \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \]
Étape 2 : Établir que la fonction est constante
Puisque \( f'(x) = 0 \) pour tout \( x \in (-1, 1) \), il découle du théorème des accroissements finis (ou des propriétés des fonctions constantes) que \( f(x) \) doit être une valeur constante, disons \( C \), sur tout l'intervalle. Par continuité, cette constance s'étend aux bornes fermées \([-1, 1]\).
Étape 3 : Évaluer en un point spécifique
Pour déterminer la valeur exacte de cette constante \( C \), nous évaluons \( f(x) \) en un point facilement calculable dans le domaine. Choisissons \( x = 0 \) : \[ f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) \] Puisque \( \arcsin(0) = 0 \) et \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \) : \[ f(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \]
Résultat final
Parce que \( f(x) \) est une fonction constante égale à \( \dfrac{\pi}{2} \) partout sur son domaine, nous concluons que : \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] pour tout \( x \in [-1, 1] \).