L'approximation linéaire est une application fondamentale de la dérivation, utilisée pour approximer des fonctions par des fonctions linéaires près d'un point donné. Cette page présente des exemples détaillés avec des solutions sur la façon de trouver des approximations linéaires de fonctions.
Formule de l'approximation linéaire
Une approximation linéaire \( f_l \) d'une fonction \( f \) en \( x = a \) est obtenue à partir de l'équation de la droite tangente au graphique de \( f \) en \( x = a \) :
Pour des valeurs de \( x \) proches de \( a \), les valeurs de \( f(x) \) et \( f_l(x) \) sont proches. Puisque \( f_l(x) \) est une fonction linéaire, elle sert d'approximation linéaire de \( f \).
Cette technique est particulièrement utile pour linéariser des fonctions non algébriques telles que les fonctions sinus, cosinus, logarithmique et exponentielle afin de simplifier leurs calculs. Des exemples suivent ci-dessous.
Exemples étape par étape
Exemple 1 : Approximation linéaire de \( f(x) = \tan x \) près de \( x = 0 \)
Tout d'abord, calculez la dérivée :
\[ f'(x) = \sec^2 x \]Évaluez en \( x = 0 \) :
\[ f'(0) = \sec^2(0) = 1 \]Ainsi, l'approximation linéaire \( f_l(x) \) en \( x = 0 \) est :
\[ f_l(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 0 + 1 \cdot x = x \]Cela signifie que \(\tan x \approx x\) pour \( x \) proche de 0, où \( x \) est mesuré en radians.
Essayez de calculer \(\tan x\) et de le comparer avec \(x\) pour les valeurs : \[ x = 0, 0.001, 0.01, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5 \] Utilisez votre calculatrice réglée en mode radians et observez l'approximation.
Exemple 2 : Approximation linéaire de \( f(x) = \ln x \) près de \( x = 1 \)
Calculez la dérivée :
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} \]Évaluez en \( x = 1 \) :
\[ f'(1) = 1 \]L'approximation linéaire \( f_l(x) \) en \( x = 1 \) est :
\[ f_l(x) = \ln 1 + 1 \cdot (x - 1) = 0 + (x - 1) = x - 1 \]Donc, \[ \ln x \approx x - 1 \] pour \( x \) proche de 1.
Comparez \(\ln x\) et \(x - 1\) pour les valeurs : \[ x = 1, 1.001, 1.01, 1.1, 1.5 \] à l'aide de votre calculatrice.
Exemple 3 : Approximation linéaire de \( f(x) = e^x \) près de \( x = 0 \)
La dérivée est :
\[ f'(x) = e^x \]Évaluez en \( x = 0 \) :
\[ f'(0) = 1 \]L'approximation linéaire \( f_l(x) \) en \( x = 0 \) est :
\[ f_l(x) = e^0 + 1 \cdot (x - 0) = 1 + x \]Comparez \( e^x \) et \( 1 + x \) pour les valeurs : \[ x = 0, 0.001, 0.01, 0.1, 0.5 \] à l'aide de votre calculatrice.
Conclusion et approfondissement
L'approximation linéaire est l'un des moyens les plus simples d'approximer des fonctions transcendantes qui ne peuvent pas être exprimées algébriquement. Il existe des techniques plus avancées pour de meilleures approximations.
Pour aller plus loin, consultez d'autres applications de la dérivation.