Des tutoriels sur les séries de Fourier sont présentés. Dans la première partie, un exemple est utilisé pour montrer comment les coefficients de Fourier sont calculés, et dans la seconde partie, vous pouvez utiliser une application interactive pour explorer davantage les séries de Fourier de la même fonction.
Dans ce qui suit, \( C \) représente la constante d'intégration le cas échéant.
Séries de Fourier et coefficients
Les séries de Fourier peuvent être utilisées pour représenter des fonctions périodiques comme une combinaison linéaire de fonctions sinus et cosinus. Si \( f(t) \) est une fonction périodique de période \( T \), alors sous certaines conditions, sa série de Fourier est donnée par :
\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right)\right] \]où \( n = 1, 2, 3, \ldots \) et \( T \) est la période de la fonction \( f(t) \). \( a_n \) et \( b_n \) sont appelés coefficients de Fourier et sont donnés par :
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \, dt \] \[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]Exemple 1
Trouvez la série de Fourier de la fonction périodique \( f(t) \) définie par :
\[ f(t) = \begin{cases} 1, & \text{pour } 0 \leq t < T/2 \\ -1, & \text{pour } T/2 \leq t < T \end{cases} \].gif)
Afficher la solution de l'exemple 1
Le coefficient \( a_0 \) est donné par :
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} (1) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \, dt \]Le coefficient \( a_n \) est donné par :
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]Le coefficient \( b_n \) est donné par :
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]Le calcul des intégrales donne :
\[ a_0 = 0, \quad a_n = 0, \quad \text{et } b_n = \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) \]Notez que \( \cos(n\pi) = (-1)^n \), ce qui signifie que \( b_n = 0 \) chaque fois que \( n \) est pair.
Ainsi, la série de Fourier de \( f(t) \) est :
\[ f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]Tutoriel interactif sur les séries de Fourier
Pour des besoins de calcul numérique, nous ne pouvons pas inclure un nombre infini de termes. Nous définissons donc une fonction somme partielle \( f_N(t) \) avec un nombre limité de termes \( N \) :
\[ f_N(t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]L'application ci-dessous peut être utilisée pour explorer la série de Fourier de \( f(t) \) résolue dans l'exemple 1. Augmentez \( N \) pour voir comment le graphique de \( f_N(t) \) (en bleu) converge vers le graphique de \( f(t) \) (en rouge).
Les valeurs par défaut sont \( N = 5 \) et \( T = 4 \). Modifiez \( N \) et \( T \) et cliquez sur le bouton pour mettre à jour le graphique.
Survolez le graphique ou le point tracé avec le curseur de la souris pour lire les coordonnées.