Additionner et soustraire des expressions radicales

Questions détaillées, explications et solutions pour les mathématiques (niveau 10e année)

Pour additionner et soustraire des expressions radicales, vous devez identifier les radicaux "semblables". Ce processus est identique à la combinaison de termes semblables en algèbre polynomiale.

Besoin de revoir les bases ? Commencez par notre introduction aux radicaux.

Définition des radicaux semblables

Les expressions radicales sont considérées comme semblables uniquement si elles possèdent exactement le même indice et le même radicande.

  • \( 6 \sqrt[3]{5} \) et \( -5 \sqrt[3]{5} \) sont semblables (Indice : 3, Radicande : 5).
  • \( 7 \sqrt[3]{8} \) et \( -5 \sqrt[3]{9} \) ne sont pas semblables (les radicandes 8 et 9 diffèrent).
  • \( 3 \sqrt{2x} \) et \( -5 \sqrt{2x} \) sont semblables (Indice : 2, Radicande : \(2x\)).

Exemples de base d'addition et de soustraction

Seuls les radicaux semblables peuvent être additionnés ou soustraits en factorisant le radical commun et en combinant leurs coefficients.

Exemple 1 : \( 4 \sqrt[3]{5} + 7 \sqrt[3]{5} \)
\[ 4\sqrt[3]{5} + 7\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}(4+7) = 11\sqrt[3]{5} \]
Exemple 2 : \( 9 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \)
\[ 9\sqrt{13} - 11\sqrt{13} = \sqrt{13}(9-11) = -2\sqrt{13} \]
Exemple 3 : \( -8 \sqrt[4]{2x+1} + 6 \sqrt[4]{2x+1} \)
\[ \sqrt[4]{2x+1}(-8+6) = -2\sqrt[4]{2x+1} \]
Exemple 4 : \( -\sqrt{2xy} - 4 \sqrt{2xy} + 23 \sqrt{2xy} \)
\[ \sqrt{2xy}(-1-4+23) = 18\sqrt{2xy} \]

Transformation des radicaux différents

Lorsque les radicandes diffèrent, simplifiez-les d'abord en extrayant les carrés (ou cubes) parfaits pour voir s'ils peuvent être convertis en radicaux semblables.

Exemple 5 : \( 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} \)
\[ 4\sqrt{2^2 \cdot 2} - 6\sqrt{2} = 4 \cdot 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 8\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
Exemple 6 : \( -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \)

Décomposition en facteurs premiers de 12 et 108 : \(12 = 2^2 \cdot 3\) et \(108 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 3 = 6^2 \cdot 3\).

\[ -4\sqrt{2^2 \cdot 3} + 12\sqrt{6^2 \cdot 3} \] \[ = -4 \cdot 2\sqrt{3} + 12 \cdot 6\sqrt{3} = -8\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \]
Exemple 7 : \( \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} \)
\[ \sqrt[4]{(x+1)} + 3 \cdot 2\sqrt[4]{(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 6\sqrt[4]{(x+1)} = 7\sqrt[4]{x+1} \]

Exercices pratiques avec solutions

Question 1 : \( -2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+20 \)
\[ (-2+4)\sqrt{3} + 20 = 2\sqrt{3} + 20 \]

Question 2 : \( 20\sqrt{7}-2\sqrt{28}-7 \)
\[ 20\sqrt{7} - 2\sqrt{4 \cdot 7} - 7 = 20\sqrt{7} - 4\sqrt{7} - 7 = 16\sqrt{7} - 7 \]

Question 3 : \( -\sqrt{32}-2\sqrt{50}+3\sqrt{200} \)

Simplification : \(32 = 16 \cdot 2\), \(50 = 25 \cdot 2\), \(200 = 100 \cdot 2\).

\[ -4\sqrt{2} - 2(5\sqrt{2}) + 3(10\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 30\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]

Question 4 : \( -\sqrt{\frac{28}{9}}+3\sqrt{\frac{63}{25}} \)
\[ -\frac{2\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{5} = \sqrt{7}\left(-\frac{2}{3} + \frac{9}{5}\right) = \sqrt{7}\left(-\frac{10}{15} + \frac{27}{15}\right) = \frac{17}{15}\sqrt{7} \]

Question 5 : \( 2\sqrt{3x^2}-5\sqrt{12x^2} \)
\[ 2|x|\sqrt{3} - 5(2|x|\sqrt{3}) = 2|x|\sqrt{3} - 10|x|\sqrt{3} = -8|x|\sqrt{3} \]

Question 6 : \( (7\sqrt{3x}-11\sqrt{27x})^2 \)
\[ 7\sqrt{3x} - 11(3\sqrt{3x}) = 7\sqrt{3x} - 33\sqrt{3x} = -26\sqrt{3x} \] \[ (-26\sqrt{3x})^2 = 676 \cdot 3x = 2028x \]