Problème 1
Chaque côté de la pyramide à base carrée illustrée ci-dessous mesure $10$ pouces. La hauteur oblique (apothème), $H$, de cette pyramide mesure $12$ pouces.
- Quelle est l'aire de la base de la pyramide en pouces carrés ?
- Quelle est l'aire totale de la surface de la pyramide en pouces carrés ?
- Quelle est $h$, la hauteur de la pyramide en pouces ?
- En utilisant la hauteur déterminée dans la partie (c), quel est le volume de la pyramide en pouces cubes ?
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a) Aire d'un carré : $10 \times 10 = 100$ pouces carrés.
b) Aire Totale = Base + 4 Triangles :
$$100 + 4 \left( \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \right) = 340 \text{ pouces carrés.}$$
c) En utilisant le théorème de Pythagore avec la hauteur oblique et la moitié de la base :
$$h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119} \text{ pouces.}$$
d) Volume :
$$\text{Volume} = \frac{1}{3} \times 100 \times \sqrt{119} \approx 363.6 \text{ pouces cubes.}$$
Problème 2
Le parallélogramme illustré dans la figure ci-dessous a un périmètre de $44$ cm et une aire de $64$ cm2. Trouvez l'angle $T$ en degrés.
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Établissez l'équation du périmètre :
$$44 = 2(3x + 2) + 2(5x + 4)$$
Résolvez pour $x$ :
$$x = 2$$
La longueur de la base est $5(2) + 4 = 14$. Le côté oblique est $3(2) + 2 = 8$.
Trouvez la hauteur du parallélogramme en utilisant l'aire :
$$\text{hauteur} = \frac{\text{aire}}{\text{base}} = \frac{64}{14} = \frac{32}{7} \text{ cm}$$
Utilisez la trigonométrie pour trouver l'angle $T$ :
$$\sin(T) = \frac{\text{Opposé}}{\text{Hypoténuse}} = \frac{32/7}{8} = \frac{32}{56} = \frac{4}{7}$$
$$T = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right) \approx 34.8^\circ$$
Problème 3
Trouvez l'aire du quadrilatère illustré dans la figure. (REMARQUE : la figure n'est pas à l'échelle)
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Le triangle $\triangle ABD$ est un triangle rectangle ; donc par le théorème de Pythagore :
$$BD^2 = 15^2 + 15^2 = 450$$
Pour le triangle $\triangle BCD$, vérifiez s'il est rectangle en calculant la somme des carrés de ses côtés les plus courts :
$$BC^2 + CD^2 = 21^2 + 3^2 = 441 + 9 = 450$$
Puisque $BC^2 + CD^2 = BD^2$, le triangle $\triangle BCD$ est également un triangle rectangle.
L'aire totale du quadrilatère est la somme des aires des deux triangles rectangles :
$$\text{Aire} = \left(\frac{1}{2} \times 15 \times 15\right) + \left(\frac{1}{2} \times 21 \times 3\right) = 112.5 + 31.5 = 144$$
Problème 4
Dans la figure ci-dessous, le triangle OAB a une aire de $72$ unités carrées et le triangle ODC a une aire de $288$ unités carrées. Trouvez $x$ comme longueur du segment BC et $y$ comme longueur du segment AD.
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En utilisant la formule du sinus pour l'aire d'un triangle, évaluons $\triangle OAB$ :
$$\text{Aire du } \triangle OAB = 72 = \frac{1}{2} \sin(\angle AOB) \cdot OA \cdot OB$$
Puisque $OA = 18$ et $OB = 16$, on résout pour $\sin(\angle AOB)$ :
$$\sin(\angle AOB) = \frac{2 \cdot 72}{18 \cdot 16} = \frac{1}{2}$$
Comme les angles $\angle DOC$ et $\angle AOB$ sont opposés par le sommet, $\sin(\angle DOC) = \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}$.
Maintenant, évaluons l'aire du $\triangle ODC$ :
$$\text{Aire du } \triangle ODC = 288 = \frac{1}{2} \sin(\angle DOC) \cdot OD \cdot OC$$
$$288 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \cdot (18 + y)(16 + x)$$
$$1152 = (18 + y)(16 + x)$$
Les points A, B, C et D se trouvent sur un cercle. D'après le théorème de la puissance d'un point (sécantes) :
$$OA \cdot OD = OB \cdot OC$$
$$18(18 + y) = 16(16 + x)$$
Nous avons maintenant un système d'équations :
1) $(18 + y)(16 + x) = 1152$
2) $18(18 + y) = 16(16 + x) \Rightarrow (18 + y) = \frac{8}{9}(16 + x)$
Remplacez l'équation 2 dans l'équation 1 :
$$\left(\frac{8}{9}(16 + x)\right)(16 + x) = 1152$$
$$(16 + x)^2 = 1152 \times \frac{9}{8} = 1296$$
$$16 + x = 36 \Rightarrow x = 20$$
Remplacez $x = 20$ dans l'équation 2 :
$$18 + y = \frac{8}{9}(16 + 20) = \frac{8}{9}(36) = 32$$
$$y = 14$$
Problème 5
Trouvez les dimensions du rectangle dont la longueur mesure $3$ mètres de plus que sa largeur et dont le périmètre a une valeur numérique égale à son aire.
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Soit $L$ la longueur et $W$ la largeur du rectangle. On donne : $L = W + 3$
Périmètre : $2L + 2W = 2(W + 3) + 2W = 4W + 6$
Aire : $LW = (W + 3)W = W^2 + 3W$
Puisque l'aire et le périmètre ont la même valeur :
$$W^2 + 3W = 4W + 6$$
Résolvez l'équation du second degré :
$$W^2 - W - 6 = 0$$
$$(W - 3)(W + 2) = 0$$
La largeur ne peut pas être négative, donc $W = 3$. Remplacez pour trouver la longueur :
$$L = 3 + 3 = 6$$
Réponse : Largeur = $3$ mètres, Longueur = $6$ mètres.
Problème 6
Trouvez la circonférence d'un disque circulaire dont l'aire est de $100 \pi$ centimètres carrés.
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Soit $r$ le rayon du disque. L'aire est de $100\pi$ ; par conséquent,
$$100\pi = \pi r^2$$
Résolvez pour $r$ :
$$r = 10$$
La circonférence est :
$$C = 2\pi r = 20\pi \text{ cm}$$
Problème 7
Un demi-cercle d'une aire de $1250 \pi$ centimètres carrés est inscrit dans un rectangle. Le diamètre du demi-cercle correspond à la longueur du rectangle. Trouvez l'aire du rectangle.
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Soit $r$ le rayon du demi-cercle. L'aire est :
$$1250\pi = \frac{1}{2} \pi r^2$$
En résolvant pour $r$ :
$$2500 = r^2 \Rightarrow r = 50$$
La longueur du rectangle est $2r = 100$ (puisque le demi-cercle y est inscrit).
La largeur du rectangle est $r = 50$ (puisque le demi-cercle y est inscrit).
L'aire du rectangle est :
$$\text{Aire} = 100 \times 50 = 5000 \text{ cm}^2$$