Des questions de 10e année (Seconde) sur la façon de rationaliser des expressions radicales sont présentées ci-dessous. Examinez les formules et les exemples, essayez de résoudre les questions pratiques, et cliquez sur "Voir la solution" pour consulter les solutions détaillées étape par étape.
Rationaliser des expressions radicales avec des dénominateurs consiste à exprimer le dénominateur sans radicaux.
Les identités suivantes peuvent être utilisées pour rationaliser les dénominateurs d'expressions rationnelles :
Examinez les exemples suivants pour voir comment la rationalisation est appliquée :
Rationalisez : $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
À cause du $\sqrt{2}$ au dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{2}$ et simplifiez :
$$ \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
Rationalisez : $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$
À cause du $\sqrt[3]{x}$ au dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par $\left( \sqrt[3]{x} \right)^2$ et simplifiez :
$$ \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x} $$
Rationalisez : $\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$
À cause de l'expression $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ au dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par son conjugué, qui est $\sqrt{3} + \sqrt{2}$, pour obtenir :
$$ \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $$
Rationalisez : $\dfrac{5x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$
À cause de l'expression $\sqrt[3]{x^2}$ au dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par $\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2$ pour obtenir :
$$ \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2} $$
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^3} $$
Simplifiez et annulez les termes :
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{x^2} = 5\sqrt[3]{x^4} = 5x\sqrt[3]{x} $$
Rationalisez : $\dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}$
À cause de l'expression $y + \sqrt{x^2 + y^2}$ au dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur par son conjugué, $y - \sqrt{x^2 + y^2}$, pour obtenir :
$$ \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{(y)^2 - (\sqrt{x^2 + y^2})^2} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} $$
$$ = -y + \sqrt{x^2 + y^2} $$
Rationalisez les dénominateurs des expressions suivantes et simplifiez si possible :
Simplifiez : $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$
Multipliez le numérateur et le dénominateur par $\sqrt{5}$ :
$$ \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} $$
Simplifiez : $2\sqrt{2}\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$
Concentrez-vous sur la partie fractionnaire. Multipliez son numérateur et son dénominateur par le conjugué, $\sqrt{2} - \sqrt{3}$ :
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \right) $$
Simplifiez la fraction :
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} $$
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3}}{2-3} $$
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}}{-1} $$
Distribuez le signe négatif :
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} $$
$$ = 5 $$
Simplifiez : $\dfrac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}}$
Multipliez le numérateur et le dénominateur par $\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2$ :
$$ \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} = \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} \cdot \frac{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2} $$
Simplifiez :
$$ = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^3} = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{x^4} = 7 \sqrt[3]{x^8} = 7x^2 \sqrt[3]{x^2} $$
Simplifiez : $\dfrac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}$
Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué, $y - \sqrt{x^2 + y^2}$ :
$$ \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
Simplifiez le dénominateur :
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} = y - \sqrt{x^2 + y^2} $$