Des questions de 10e année (Seconde) sur la façon de simplifier des expressions radicales sont présentées ci-dessous. Révisez les règles et les propriétés des radicaux, essayez les problèmes pratiques, et cliquez sur les flèches pour voir les solutions détaillées étape par étape.
Pour simplifier des expressions radicales, vous devez connaître les règles et propriétés suivantes des radicaux.
A) $\sqrt[n]{x^n} = |x|$ si $n$ est pair
B) $\sqrt[n]{x^n} = x$ si $n$ est impair
Exemples :
Plus d'exemples sur les racines de nombres réels et radicaux.
La formule du produit pour les radicaux ayant des indices égaux est la suivante :
Plus d'exemples sur comment multiplier des expressions radicales.
La formule de la division pour les radicaux ayant des indices égaux est la suivante :
Plus d'exemples sur comment diviser des expressions radicales.
Vous pouvez additionner ou soustraire uniquement des radicaux semblables.
Exemple :
Plus d'exemples sur comment additionner des expressions radicales.
Vous pouvez réécrire des expressions sans radicaux au dénominateur (rationalisation) en utilisant des identités telles que :
Plus d'exemples sur comment rationaliser les dénominateurs d'expressions radicales.
Rationalisez et simplifiez les expressions données :
Simplifiez : $\sqrt{128} \cdot \sqrt{32}$
Écrivez 128 et 32 comme produits de facteurs premiers : $128 = 2^7$, $32 = 2^5$.
$$ \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2^7} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{2^7 \cdot 2^5} $$
$$ = \sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = |2^6| = 64 $$
Simplifiez : $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12}$
Utilisez la règle du produit pour écrire $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12}$.
$$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12} + 3\sqrt{12} $$
$$ = \sqrt{12}(1 + 3) = 4\sqrt{12} $$
$$ = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{4}\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$
Simplifiez : $\dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}}$
Écrivez 14 et 63 comme produits de nombres premiers ($14 = 2 \times 7$, $63 = 3^2 \times 7$) et remplacez :
$$ \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{2 \cdot 7} + 4\sqrt{3^2 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} + 12)}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{3} = \sqrt{2} + 4 $$
Simplifiez : $\sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16}$
Écrivez 32 et 16 comme produits de nombres premiers ($32 = 2^5$, $16 = 2^4$) et remplacez :
$$ \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^5} \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 2^4} $$
$$ = \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
Simplifiez : $\sqrt[3]{\dfrac{64}{7}}$
Écrivez 64 comme un produit de nombres premiers ($64 = 2^6$) et remplacez :
$$ \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^6}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{(2^2)^3}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} $$
Rationalisez le dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$ :
$$ = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \dfrac{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2} = \dfrac{4\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{7} = \dfrac{4\sqrt[3]{49}}{7} $$
Simplifiez : $\dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}}$
Écrivez 54 comme un produit de nombres premiers ($54 = 2 \times 3^3$) et remplacez :
$$ \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2 \cdot 3^3 x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2x} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - 3\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{-2\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} = -2\sqrt[3]{\dfrac{2x}{2}} = -2\sqrt[3]{x} $$
Simplifiez : $\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$
Multipliez le dénominateur et le numérateur par le conjugué du dénominateur : $\sqrt{x}-\sqrt{x+1}$ :
$$ \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $$
Développez et simplifiez :
$$ = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} $$
$$ = \dfrac{x + (x + 1) + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{x - (x + 1)} $$
$$ = \dfrac{2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)}}{-1} $$
$$ = -2x - 1 - 2\sqrt{x(x+1)} $$
Utilisez toutes les règles et propriétés des radicaux pour rationaliser et simplifier les expressions suivantes.
Simplifiez : $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125}$
$$ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{3125} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = 5\sqrt[3]{25} $$
Simplifiez : $(5\sqrt[3]{64})(-3\sqrt[3]{16})$
D'abord, simplifiez les racines cubiques connues ($\sqrt[3]{64} = 4$) :
$$ (5 \cdot 4)(-3\sqrt[3]{16}) = 20(-3\sqrt[3]{16}) = -60\sqrt[3]{16} $$
Simplifiez $\sqrt[3]{16}$ comme $\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$ :
$$ -60(2\sqrt[3]{2}) = -120\sqrt[3]{2} $$
Simplifiez : $(7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10})$
$$ (7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10}) = 14\sqrt{\dfrac{20}{5}} $$
$$ = 14\sqrt{4} = 14 \cdot 2 = 28 $$
Simplifiez : $\sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}}$
Convertissez le nombre fractionnaire en une fraction impropre :
$$ \sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3} $$
Simplifiez : $(\sqrt{17x})(\sqrt{34x})$
$$ (\sqrt{17x})(\sqrt{34x}) = \sqrt{578x^2} = x\sqrt{578} $$
$$ = x\sqrt{289 \cdot 2} = 17x\sqrt{2} $$
(En supposant $x \ge 0$ comme requis par l'expression originale).
Simplifiez : $\sqrt{4y^2}$
$$ \sqrt{4y^2} = 2|y| $$
Simplifiez : $\sqrt{8y^4}$
$$ \sqrt{8y^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (y^2)^2} = 2y^2\sqrt{2} $$
Simplifiez : $\sqrt{25+144}$
$$ \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 $$
Simplifiez : $\sqrt[2n]{x^{2n}}$, où $n$ est un entier positif
Parce que $2n$ représente un indice pair :
$$ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| $$
Simplifiez : $(\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2})$
$$ (\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2}) = 4(x-2) $$
Simplifiez : $\dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}}$
Combinez en utilisant la règle du quotient pour les radicaux :
$$ \dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{27a^3b^5}{8a^6b^2}} $$
Simplifiez la fraction à l'intérieur du radical :
$$ = \sqrt[3]{\dfrac{27b^3}{8a^3}} $$
Extrayez les cubes parfaits :
$$ = \dfrac{3b}{2a} $$
Simplifiez : $\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}$
Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, $\sqrt{x}-\sqrt{x-2}$ :
$$ \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}} = \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-2})^2}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-2})^2} $$
Développez le numérateur et simplifiez le dénominateur :
$$ = \dfrac{x + (x-2) - 2\sqrt{x(x-2)}}{x - (x-2)} $$
$$ = \dfrac{2x - 2 - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} $$
Divisez tous les termes du numérateur par 2 :
$$ = x - 1 - \sqrt{x(x-2)} $$