Des questions de 10e année (Seconde) sur les racines de nombres et les radicaux sont présentées ci-dessous. Révisez les définitions et les propriétés, essayez les questions pratiques, et cliquez sur les flèches pour voir les solutions détaillées étape par étape.
1) Pour $n$ pair et $y$ positif, il y a deux racines $n^{\text{ièmes}}$ de $y$.
Exemple : Puisque $10^4 = 10000$ et $(-10)^4 = 10000$, les racines quatrièmes de $10000$ sont $10$ et $-10$.
2) Pour $n$ pair et $y < 0$, il n'y a pas de racines $n^{\text{ièmes}}$ réelles de $y$.
Exemples :
3) Pour $n$ impair, il y a toujours une racine $n^{\text{ième}}$ de $y$.
Exemples :
Pour $n$ pair, la racine principale est définie comme la racine positive. Pour $n$ impair, il n'y a qu'une seule racine, et c'est la racine principale.
Le symbole $\sqrt{\hphantom{9}}$ est appelé un radical et est utilisé pour indiquer la racine principale d'un nombre comme suit :
où $n$ est appelé l'indice du radical et $y$ est appelé le radicande.
$$ \sqrt[6]{64} = 2 $$
$$ \sqrt[3]{-27} = -3 $$
Remarque : En raison de son utilisation répandue, la racine carrée ($n=2$) de $y$ s'écrit $\sqrt{y}$ sans indiquer l'indice.
Quelle(s) est(sont) la(les) racine(s) $4^{\text{ième(s)}}$ de $16$ ?
$2$ et $-2$ car $2^4 = 16$ et $(-2)^4 = 16$.
Quelle(s) est(sont) la(les) racine(s) $7^{\text{ième(s)}}$ de $-1$ ?
$-1$ car $(-1)^7 = -1$.
Quel nombre a une racine cinquième égale à $-3$ ?
Le nombre est $(-3)^5 = -243$.
Si la racine sixième de $y$ est égale à $-5$, alors $y = \underline{\hspace{2cm}}$
$y = (-5)^6 = 15625$.
Quelle(s) est(sont) la(les) racine(s) $20^{\text{ième(s)}}$ de $-1$ ?
Si $x$ est la racine $20^{\text{ième}}$ de $-1$, alors $x^{20} = -1$. Il n'y a pas de nombre réel $x$ qui, élevé à une puissance paire, donnerait un nombre négatif. La racine $20^{\text{ième}}$ de $-1$ n'est pas un nombre réel.
Quelle est la racine principale $4^{\text{ième}}$ de $81$ ?
$81 = 3^4$ et $81 = (-3)^4$. Ainsi $81$ a deux racines quatrièmes, mais la racine principale est la positive, $3$.
Évaluez : $\sqrt{-4} = \underline{\hspace{2cm}}$
N'est pas un nombre réel.
Évaluez : $\sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \sqrt[10]{-1} $$
N'est pas un nombre réel.
Évaluez : $\sqrt[3]{-1} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{-1} = -1 $$
Évaluez : $\sqrt[3]{1000} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10 $$
Évaluez : $\sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 $$
Évaluez : $\sqrt{(-23)^2} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt{(-23)^2} = \sqrt{529} = 23 $$
Évaluez : $\sqrt{4^6} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64 $$
Évaluez : $\sqrt[7]{5^7} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[7]{5^7} = 5 $$
Évaluez : $\sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \sqrt[4]{100 - 36} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} $$
Cela peut être simplifié à l'aide d'exposants fractionnaires :
$$ = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 $$
Évaluez : $\sqrt[3]{2^9} = \underline{\hspace{2cm}}$
$$ \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
Évaluez : $\sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \underline{\hspace{2cm}}$
Convertissez la fraction mixte en une fraction impropre :
$$ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2.5 $$
Utilisez une calculatrice pour approximer ce qui suit à 3 décimales près :