Formules détaillées, définitions et solutions étape par étape
Une suite est une liste ordonnée de nombres. Une suite arithmétique possède une raison constante (différence), tandis qu'une suite géométrique possède une raison constante (quotient). Une série est la somme des termes d'une suite.
Raison (d) : \( d = a_{n} - a_{n-1} \)
Terme général (\( a_n \)) :
\[ a_n = a + (n-1)d \]Somme de \( n \) termes (\( S_n \)) :
\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \] \[ S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \]Raison (r) : \( r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \)
Terme général (\( a_n \)) :
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]Somme de \( n \) termes (\( S_n \)) :
\[ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \ne 1 \]Une série géométrique infinie possède une somme finie (converge) seulement si la raison satisfait \( |r| < 1 \). Si \( |r| \ge 1 \), la série diverge et n'a pas de somme.
Somme à l'infini (\( S_{\infty} \)) :
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \]Question 1 (Arithmétique) : Trouvez le 15e terme de la suite arithmétique : \( 10, 6, 2, -2, \dots \)
Identifiez le premier terme \( a = 10 \) et la raison \( d = 6 - 10 = -4 \).
\[ a_{15} = 10 + (15-1)(-4) \] \[ a_{15} = 10 + 14(-4) = 10 - 56 = -46 \]Question 2 (Géométrique) : Trouvez le 8e terme de la suite géométrique : \( 5, 10, 20, 40, \dots \)
Identifiez \( a = 5 \) et \( r = 10/5 = 2 \). Calculez \( a_8 \) :
\[ a_8 = 5 \cdot (2)^{8-1} = 5 \cdot 2^7 \] \[ a_8 = 5 \cdot 128 = 640 \]Question 3 (Défi) : Dans une suite arithmétique, \( a_3 = 13 \) et \( a_9 = 37 \). Trouvez le premier terme \( a \) et la raison \( d \).
Établissez deux équations en utilisant \( a_n = a + (n-1)d \) :
(1) \( a + 2d = 13 \)
(2) \( a + 8d = 37 \)
Soustrayez (1) de (2) : \( 6d = 24 \Rightarrow d = 4 \).
Remplacez \( d=4 \) dans (1) : \( a + 2(4) = 13 \Rightarrow a + 8 = 13 \Rightarrow a = 5 \).
Question 4 (Somme arithmétique) : Trouvez la somme des 50 premiers entiers positifs pairs.
La suite est \( 2, 4, 6, \dots \), donc \( a = 2 \), \( d = 2 \), et \( n = 50 \).
\[ S_{50} = \frac{50}{2}[2(2) + (50-1)(2)] \] \[ S_{50} = 25[4 + 98] = 25[102] = 2550 \]Question 5 (Somme géométrique) : Trouvez la somme des 6 premiers termes de la série géométrique : \( 3, -6, 12, -24, \dots \)
Identifiez \( a = 3 \), \( r = -2 \), et \( n = 6 \) :
\[ S_6 = \frac{3((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} \] \[ S_6 = \frac{3(64 - 1)}{-3} = \frac{3(63)}{-3} = -63 \]Question 6 (Défi) : Trouvez la somme de tous les multiples de 7 à trois chiffres.
Premier multiple \( a = 105 \). Dernier multiple \( a_n = 994 \). Raison \( d = 7 \).
Trouvez \( n \) : \( 994 = 105 + (n-1)7 \Rightarrow 889 = 7(n-1) \Rightarrow n = 128 \).
Trouvez la somme : \[ S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994) = 64(1099) = 70336 \]
Question 7 : Déterminez la somme de la série infinie : \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \)
Identifiez \( a = 1 \) et \( r = 0,5 \). Comme \( |0,5| < 1 \), la série converge :
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0,5} = \frac{1}{0,5} = 2 \]Question 8 : Une série géométrique infinie a une somme de 20 et un premier terme de 5. Trouvez la raison \( r \).