Trouver des fonctions quadratiques à partir de leurs graphiques

Guide détaillé avec les méthodes du sommet, des points d'intersection et de l'axe de symétrie

Pour trouver l'équation d'une fonction quadratique à partir de son graphique, nous identifions des caractéristiques clés telles que le sommet, les points d'intersection, ou l'axe de symétrie. Selon les informations disponibles, nous utilisons la forme canonique ou la forme factorisée pour déterminer la fonction finale.

Formes quadratiques clés

Forme générale : \[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Forme canonique (forme sommet) : \[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

Où $(h, k)$ sont les coordonnées du sommet. La relation entre les formes est donnée par :

\[ h = \frac{-b}{2a}, \quad k = f(h) = c - \frac{b^2}{4a} \]

Méthode 1 : Sommet et un point connus

Exemple 1

Trouvez la fonction quadratique $f$ dont le graphique est illustré ci-dessous :

Graphique de fonction quadratique avec sommet à l'origine
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1. Identifiez le sommet à partir du graphique : $(h, k) = (0, 2)$.

2. Établissez la forme canonique : \[ f(x) = a(x - 0)^2 + 2 = ax^2 + 2 \]

3. Utilisez le point $(1, 3)$ pour résoudre pour $a$ : \[ f(1) = a(1)^2 + 2 = 3 \Rightarrow a = 1 \]

Fonction finale : \[ f(x) = x^2 + 2 \]

Exemple 2 : Parabole orientée vers le bas

Trouvez la fonction $g$ et évaluez $g(-3)$ :

Graphique de parabole vers le bas
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1. Sommet : $(0, -1)$. Forme canonique : $g(x) = ax^2 - 1$.

2. Utilisez le point $(1, -2)$ : \[ a(1)^2 - 1 = -2 \Rightarrow a = -1 \]

3. Équation : $g(x) = -x^2 - 1$.

4. Évaluez $g(-3)$ : \[ g(-3) = -(-3)^2 - 1 = -9 - 1 = -10 \]

Exemple 3 : Sommet décalé

Trouvez la fonction $l$ et calculez ses points d'intersection avec l'axe des $x$ :

Parabole avec sommet (2, 1)
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1. Sommet $(2, 1) \Rightarrow l(x) = a(x - 2)^2 + 1$.

2. Utilisez le point d'intersection avec l'axe des $y$ $(0, -7)$ : \[ a(0 - 2)^2 + 1 = -7 \Rightarrow 4a = -8 \Rightarrow a = -2 \]

3. Trouvez les points d'intersection x (posez $l(x) = 0$) : \[ -2(x - 2)^2 + 1 = 0 \Rightarrow (x - 2)^2 = 1/2 \]

\[ x = 2 \pm \sqrt{1/2} \]

Méthode 2 : Points d'intersection x et y connus

Exemple 4

Trouvez la fonction $s$ sous forme générale :

Parabole avec deux points d'intersection x
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1. Utilisez la forme factorisée avec les points d'intersection $(-1, 0)$ et $(2, 0)$ : \[ s(x) = a(x + 1)(x - 2) \]

2. Utilisez le point d'intersection avec l'axe des $y$ $(0, -4)$ : \[ a(0 + 1)(0 - 2) = -4 \Rightarrow -2a = -4 \Rightarrow a = 2 \]

3. Forme générale : \[ s(x) = 2(x^2 - x - 2) = 2x^2 - 2x - 4 \]

Méthode 3 : Axe de symétrie et deux points connus

Exemple 5

Trouvez $m(x)$ sachant que l'axe de symétrie est $x = -3$ :

Parabole avec axe de symétrie indiqué
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1. Forme canonique : $m(x) = a(x + 3)^2 + k$.

2. Créez un système d'équations avec les points $(-5, 0)$ et $(-2, -1,5)$ :

\[ \begin{cases} a(-5 + 3)^2 + k = 0 \Rightarrow 4a + k = 0 \\ a(-2 + 3)^2 + k = -1,5 \Rightarrow a + k = -1,5 \end{cases} \]

3. Soustraction des équations : $3a = 1,5 \Rightarrow a = 0,5$. Puis $k = -2$.

4. Forme générale : \[ m(x) = 0,5(x + 3)^2 - 2 = 0,5x^2 + 3x + 2,5 \]

Méthode 4 : Trois points connus

Exemple 6

Déterminez $w(x)$ sous forme générale :

Parabole générale avec trois points marqués
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En utilisant $w(x) = ax^2 + bx + c$ :

  • Point $(0, -1/6) \Rightarrow c = -1/6$.
  • Point $(1, 0) \Rightarrow a + b - 1/6 = 0 \Rightarrow a + b = 1/6$.
  • Point $(3, 10/3) \Rightarrow 9a + 3b - 1/6 = 10/3 \Rightarrow 9a + 3b = 7/2$.

Résolution du système : $a = 1/2, b = -1/3$.

Fonction finale : \[ w(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{6} \]

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