Trouver la fonction inverse à partir de graphiques

Explications graphiques et questions résolues étape par étape

Trouver les valeurs d'une fonction inverse à partir d'un graphique est un processus visuel. Il repose sur la propriété fondamentale selon laquelle si une fonction originale associe $x$ à $y$, la fonction inverse associe $y$ à $x$.

La relation inverse

Si $f$ est une fonction et $f^{-1}$ est son inverse, leur relation est définie comme suit :

\[ f(a) = b \iff a = f^{-1}(b) \]

Stratégie visuelle : Pour trouver $f^{-1}(b)$, vous cherchez essentiellement la valeur de $x$ qui produit une valeur de $y$ égale à $b$.

Exemple résolu : Relation courbe $f(x)$

Utilisez le graphique de la fonction $f$ ci-dessous pour trouver :

Graphique de la fonction f
Voir les solutions

a) $f^{-1}(5)$ : Localisez $y = 5$ sur l'axe des y. Déplacez-vous horizontalement vers le graphique, puis vers le bas jusqu'à l'axe des x. Nous trouvons $x = 3$. Donc, $f^{-1}(5) = 3$.

Solution visuelle pour f^-1(5)

b) $f^{-1}(0)$ : À $y = 0$, le graphique est à $x = 2$. Donc, $f^{-1}(0) = 2$.

c) $f^{-1}(-3)$ : À $y = -3$, le graphique est à $x = 1$. Donc, $f^{-1}(-3) = 1$.

d) $f^{-1}(-4)$ : À $y = -4$, le graphique est à $x = 0$. Donc, $f^{-1}(-4) = 0$.

e) $f^{-1}(-5)$ : Le graphique n'atteint pas $y = -5$. Cette valeur est indéfinie.

Questions d'entraînement

Question 1 : Relation linéaire $g(x)$

Trouvez : $g^{-1}(6)$, $g^{-1}(0)$, $g^{-1}(-2)$, et $g^{-1}(8)$.

Graphique de la fonction g
Voir la solution

a) $g^{-1}(6)$ : La valeur $x$ pour $y = 6$ est 2. Donc, $g^{-1}(6) = 2$.

Solution pour g^-1

b) $g^{-1}(0)$ : Le graphique coupe l'axe des x ($y=0$) à $x = -1$. Donc, $g^{-1}(0) = -1$.

c) $g^{-1}(-2)$ : Le graphique est à $x = -2$ quand $y = -2$. Donc, $g^{-1}(-2) = -2$.

d) $g^{-1}(8)$ : La hauteur maximale du graphique est $y = 6$. Donc, $g^{-1}(8)$ est indéfini.

Question 2 : Relation trigonométrique $h(x)$

Trouvez : $h^{-1}(1)$, $h^{-1}(0)$, et $h^{-1}(-1)$.

Graphique de la fonction trigonométrique h
Voir la solution

a) $h^{-1}(1)$ : Le graphique est à la hauteur 1 quand $x = 0$. Donc, $h^{-1}(1) = 0$.

b) $h^{-1}(0)$ : Le graphique coupe $y=0$ à $x = \pi/2$. Donc, $h^{-1}(0) = \pi/2$.

c) $h^{-1}(-1)$ : Le graphique atteint $-1$ à $x = \pi$. Donc, $h^{-1}(-1) = \pi$.

d) $h^{-1}(2)$ : La valeur maximale de $y$ est 1. Donc, $h^{-1}(2)$ est indéfini.

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