Problèmes de géométrie avec solutions et réponses

Explorez des solutions détaillées pour des problèmes de géométrie de 11e année. Ces exemples couvrent la géométrie analytique, les théorèmes sur les cercles, ainsi que les calculs d'aires et de volumes pour des formes complexes.

Question 1 : Intersection d'un cercle et d'une droite

Trouvez tous les points d'intersection du cercle \( x^2 + 2x + y^2 + 4y = -1 \) et de la droite \( x - y = 1 \).

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Résolvez l'équation linéaire pour \( x \) : \( x = 1 + y \).

Substituez dans l'équation du cercle :

\[ (1 + y)^2 + 2(1 + y) + y^2 + 4y = -1 \]

Développez et simplifiez pour obtenir la forme quadratique standard :

\[ 2y^2 + 8y + 4 = 0 \]

La résolution pour \( y \) donne \( y = -2 \pm \sqrt{2} \). En utilisant \( x = 1 + y \), les points d'intersection sont :

\[ (-1 + \sqrt{2},\ -2 + \sqrt{2}) \quad \text{et} \quad (-1 - \sqrt{2},\ -2 - \sqrt{2}) \]

Question 2 : Triangle délimité par des droites

Trouvez l'aire du triangle délimité par l'axe des x et les droites \( y = x \) et \( y = -2x + 3 \).

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Graphique de l'intersection du triangle

La résolution du système \( y = x \) et \( y = -2x + 3 \) donne l'intersection (sommet) à \( (1, 1) \). La hauteur est \( h = 1 \).

La base se trouve sur l'axe des x depuis \( x = 0 \) jusqu'à l'intersection de \( y = -2x + 3 \), qui est \( x = 1,5 \).

\[ \text{Aire} = \frac{1}{2} \times 1,5 \times 1 = 0,75 \text{ ou } \frac{3}{4} \]

Question 3 : Côté manquant d'un triangle

Trouvez la longueur du troisième côté d'un triangle si l'aire est de 18 et que deux côtés ont pour longueurs 5 et 10.

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Utilisez la formule sinus pour l'aire :

\[ 18 = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 \times \sin(A) \Rightarrow \sin(A) = \frac{18}{25} \]

Appliquez maintenant la loi des cosinus pour le côté \( x \) :

\[ x^2 = 5^2 + 10^2 - 2(5)(10)\cos(A) \]

Puisque \( \cos(A) = \sqrt{1 - (18/25)^2} \approx 0,692 \) :

\[ x = \sqrt{125 - 100(0,692)} \approx 7,46 \]

Question 4 : Cordes sécantes

Dans un cercle, les cordes AC et BD se coupent en O. Si l'aire(BOC) = 15, AO = 10 et OB = 5, trouvez l'aire du triangle AOD.

Cordes sécantes
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Selon le théorème des cordes sécantes, \( AO \cdot OC = BO \cdot OD \). Cela donne le rapport :

\[ \frac{AO}{BO} = \frac{OD}{OC} = \frac{10}{5} = 2 \]

Les triangles partagent des angles opposés par le sommet. Le rapport de leurs aires est le produit des rapports de leurs côtés :

\[ \text{Aire}_{\triangle AOD} = \text{Aire}_{\triangle BOC} \times 2 \times 2 = 15 \times 4 = 60 \] Illustration des cordes sécantes

Question 5 : Cercles concentriques et longueur de corde

Deux cercles concentriques ont des rayons de 10 et 6. Quelle est la longueur de la corde AB du grand cercle qui est tangente au petit cercle ?

Cercles concentriques
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Tracer un rayon vers le point de tangence forme un triangle rectangle avec la corde.

Triangle rectangle dans des cercles concentriques

Utilisez le théorème de Pythagore pour la demi-corde \( x \) :

\[ 6^2 + x^2 = 10^2 \Rightarrow x = \sqrt{100 - 36} = 8 \]

Longueur totale \( AB = 2x = 16 \).

Question 6 : Géométrie d'un carré

Le point A est à l'intérieur du carré BCDE (côté = 20). AB = 9 et AE = 13. Trouvez la longueur AC.

Point à l'intérieur d'un carré
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Utilisez la loi des cosinus dans \(\triangle ABE\) :

\[ 13^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(T) \]

Utilisez la loi des cosinus dans \(\triangle ACB\) :

\[ x^2 = 20^2 + 9^2 - 2(20)(9)\cos(90^\circ - T) \] Triangle ACB avec angle T

Notez que \( \cos(90^\circ - T) = \sin(T) \). La résolution de la première équation donne \( \cos(T) = \frac{13}{15} \).

En utilisant l'identité \( \sin(T) = \sqrt{1 - (13/15)^2} = \frac{2\sqrt{14}}{15} \) :

\[ AC = \sqrt{481 - 48\sqrt{14}} \approx 17,4 \]

Question 7 : Solide composé (Volume et masse)

Un objet métallique combine une hémisphère posée sur un cylindre. Rayon \( r = 5 \text{ cm} \), hauteur du cylindre \( h = 12 \text{ cm} \). La masse volumique est \( 7,8 \text{ g/cm}^3 \).

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a) Volume total :

\[ V_{cyl} = \pi(5)^2(12) = 300\pi \] \[ V_{hemi} = \frac{2}{3}\pi(5)^3 = \frac{250}{3}\pi \] \[ V_{total} = \frac{1150}{3}\pi \text{ cm}^3 \]

b) Masse :

\[ \text{Masse} = 7,8 \times \text{Volume} \approx 9396,66 \text{ g} \]

Question 8 : Périmètre et aire d'un jardin

Un jardin est un rectangle de \( 12 \times 8 \text{ m} \) avec un demi-cercle attaché à l'un des côtés de 8 m.

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a) Aire totale :

\[ A_{rect} = 12 \times 8 = 96, \quad A_{semi} = \frac{1}{2}\pi(4)^2 = 8\pi \] \[ A_{total} = 96 + 8\pi \approx 121,13 \text{ m}^2 \]

b) Périmètre : Nous excluons la limite interne.

\[ P = 12 + 8 + 12 (\text{côtés du rectangle}) + \pi(4) (\text{arc}) \approx 44,57 \text{ m} \]

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