Les fonctions logarithmiques et exponentielles sont fondamentales en algèbre. Comme ce sont des fonctions inverses, nous pouvons résoudre des équations complexes en convertissant leurs formes. Ce guide fournit des règles de révision complètes et des exercices pratiques résolus pour les élèves de 11e année.
Les expressions logarithmiques et exponentielles sont équivalentes :
$$\log_b(x) = y \iff x = b^y$$Où $b > 0$, $b \neq 1$ et $x > 0$.
a) $\log_x(a) = c$
b) $\log_b(2x + 1) = 3$
En utilisant $\log_b(x) = y \iff x = b^y$ :
a) $\mathbf{a = x^c}$
b) $\mathbf{2x + 1 = b^3}$
a) $3^x = m$
b) $x^2 = a$
En utilisant $x = b^y \iff y = \log_b(x)$ :
a) $\mathbf{x = \log_3(m)}$
b) $\mathbf{2 = \log_x(a)}$
Trouvez la valeur de : a) $\log_2(16)$ | b) $\log_3(27)$ | c) $\log_{25}(5)$
a) Soit $y = \log_2(16) \implies 2^y = 16$. Puisque $16 = 2^4$, $y = \mathbf{4}$.
b) Soit $y = \log_3(27) \implies 3^y = 27$. Puisque $27 = 3^3$, $y = \mathbf{3}$.
c) Soit $y = \log_{25}(5) \implies 25^y = 5$. Puisque $5 = \sqrt{25} = 25^{1/2}$, $y = \mathbf{1/2}$.
Résoudre pour $x$ : $\log_2(3x + 1) = 4$
Convertissez sous forme exponentielle :
$$3x + 1 = 2^4$$ $$3x + 1 = 16$$ $$3x = 15 \implies \mathbf{x = 5}$$Résoudre pour $x$ : $\log_4 \dfrac{x+1}{2x-1} = 0$
Convertissez sous forme exponentielle :
$$\dfrac{x+1}{2x-1} = 4^0 = 1$$ $$x + 1 = 2x - 1$$ $$\mathbf{x = 2}$$Résoudre pour $x$ : $4^{2x+1} = 16$
Écrivez les deux côtés avec la base 4 :
$$4^{2x+1} = 4^2$$Égalisez les exposants :
$$2x + 1 = 2 \implies 2x = 1 \implies \mathbf{x = 0,5}$$Résoudre : $2^{2x} - 6(2^x) = -8$
Notez que $2^{2x} = (2^x)^2$. Soit $u = 2^x$ :
$$u^2 - 6u + 8 = 0$$Factorisez l'équation quadratique :
$$(u - 2)(u - 4) = 0 \implies u = 2, u = 4$$Substituez pour retrouver $x$ :
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