Questions sur les logarithmes et les exponentielles avec réponses et solutions - 12e année

Étape 1 : Réécrivez l'équation pour que les deux côtés aient la même base. Nous savons que tout nombre non nul à la puissance $0$ est égal à $1$ :
$$ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x + 1} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0 $$

Étape 2 : Égalez les exposants :
$$ 2x + 1 = 0 $$

Étape 3 : Résolvez pour $x$ :
$$ 2x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{2} $$

Réponse finale : $x = -\dfrac{1}{2}$

Étape 1 : Divisez tous les termes de l'équation donnée par $x y$ (en supposant $x \neq 0$ et $y \neq 0$) :
$$ \dfrac{x y^m}{x y} = \dfrac{y x^3}{x y} $$

Étape 2 : Simplifiez les exposants en utilisant les règles du quotient :
$$ y^{m - 1} = x^2 $$

Étape 3 : Prenez le logarithme népérien ($\ln$) des deux côtés pour isoler l'exposant contenant $m$ :
$$ \ln(y^{m - 1}) = \ln(x^2) $$

Étape 4 : Appliquez la règle de la puissance des logarithmes ($ \ln(A^n) = n \ln A $) :
$$ (m - 1) \ln y = 2 \ln x $$

Étape 5 : Résolvez pour $m$ (en supposant $\ln y \neq 0$, ce qui signifie $y \neq 1$) :
$$ m - 1 = \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$
$$ m = 1 + \dfrac{2 \ln x}{\ln y} $$

Étape 1 : Utilisez la règle du produit des logarithmes pour décomposer $\log_4(10)$ :
$$ \log_4(10) = \log_4(2 \cdot 5) = \log_4(2) + \log_4(5) $$

Étape 2 : Simplifiez le premier terme :
$$ \log_4(2) = \log_4(4^{1/2}) = \dfrac{1}{2} $$

Étape 3 : Utilisez la formule de changement de base sur le deuxième terme pour le relier à la base 8 donnée :
$$ \log_4(5) = \dfrac{\log_8(5)}{\log_8(4)} $$

Étape 4 : Substituez la valeur connue $b$ et simplifiez $\log_8(4)$ :
Nous savons que $\log_8(4) = \dfrac{2}{3}$ (car $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$).
$$ \log_4(5) = \dfrac{b}{2/3} = \dfrac{3b}{2} $$

Étape 5 : Combinez les parties :
$$ \log_4(10) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{3b}{2} = \dfrac{1 + 3b}{2} $$

Étape 1 : Simplifiez le premier terme en reconnaissant que $216 = 6^3$ :
$$ \log_6(216) = \log_6(6^3) = 3 $$

Étape 2 : Utilisez les règles du quotient logarithmique pour simplifier le numérateur de la fraction :
$$ \log(42) - \log(6) = \log\left(\dfrac{42}{6}\right) = \log(7) $$

Étape 3 : Réécrivez le dénominateur en utilisant les exposants :
$$ \log(49) = \log(7^2) = 2 \log(7) $$

Étape 4 : Combinez tout dans l'expression d'origine :
$$ 3 + \dfrac{\log(7)}{2 \log(7)} $$

Étape 5 : Annulez $\log(7)$ et calculez le résultat final :
$$ 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = 3,5 $$

Étape 1 : Convertissez les exposants négatifs en fractions à l'intérieur des parenthèses :
$$ \left( \dfrac{\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9}}{6} \right)^{1/3} $$

Étape 2 : Trouvez un dénominateur commun pour soustraire les fractions au numérateur :
$$ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{2}{9} $$

Étape 3 : Substituez de nouveau et simplifiez la fraction complexe :
$$ \left( \dfrac{\dfrac{2}{9}}{6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{9 \cdot 6} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{2}{54} \right)^{1/3} $$

Étape 4 : Réduisez la fraction et appliquez la racine cubique (puissance $1/3$) :
$$ \left( \dfrac{1}{27} \right)^{1/3} = \left( \dfrac{1}{3^3} \right)^{1/3} = \dfrac{1}{3} $$

Étape 1 : Utilisez la formule de changement de base sur le deuxième terme pour l'écrire avec la base $x$ :
$$ \log_a b = \dfrac{\log_x b}{\log_x a} $$

Étape 2 : Substituez ceci de nouveau dans l'expression d'origine :
$$ (\log_x a) \left( \dfrac{\log_x b}{\log_x a} \right) $$

Étape 3 : Annulez le terme commun $\log_x a$ (en supposant $a \neq 1, x \neq 1$) :
$$ \log_x b $$

Étape 1 : Substituez les coordonnées $(x=e, y=2)$ dans l'équation :
$$ 2 = \log_a e $$

Étape 2 : Réécrivez l'équation logarithmique sous sa forme exponentielle :
$$ a^2 = e $$

Étape 3 : Isolez $a$. Prenez la racine carrée (puisque les bases des logarithmes doivent être positives, nous ne gardons que la racine positive) :
$$ a = e^{1/2} = \sqrt{e} $$

Étape 1 : Utilisez la formule de changement de base (en convertissant les deux en logarithmes népériens) pour réécrire l'équation :
$$ \dfrac{\ln x}{\ln 3} = A \dfrac{\ln x}{\ln 5} $$

Étape 2 : Parce que $x > 0$ et que nous supposons $x \neq 1$ pour résoudre une identité générale, $\ln x \neq 0$. Divisez les deux côtés par $\ln x$ :
$$ \dfrac{1}{\ln 3} = \dfrac{A}{\ln 5} $$

Étape 3 : Multipliez les deux côtés par $\ln 5$ pour résoudre pour $A$ :
$$ A = \dfrac{\ln 5}{\ln 3} $$

Étape 1 : Partez du logarithme le plus à l'extérieur (base 10) et réécrivez sous forme exponentielle :
$$ \log(2 + \log_2(x + 1)) = 10^0 = 1 $$

Étape 2 : Répétez l'opération pour le logarithme suivant (base 10) :
$$ 2 + \log_2(x + 1) = 10^1 = 10 $$

Étape 3 : Isolez le terme logarithmique restant :
$$ \log_2(x + 1) = 10 - 2 = 8 $$

Étape 4 : Réécrivez sous forme exponentielle (base 2) :
$$ x + 1 = 2^8 $$

Étape 5 : Résolvez pour $x$ :
$$ x = 256 - 1 = 255 $$

Vérification : Remettre 255 à l'intérieur donne des arguments positifs pour tous les logarithmes, la solution est donc valide.

Étape 1 : Concentrez-vous sur la simplification du terme exponentiel. Utilisez la règle de la puissance d'une puissance à l'envers : $a^{bc} = (a^b)^c$.
$$ b^{4 \log_b x} = \left(b^{\log_b x}\right)^4 $$

Étape 2 : Utilisez la propriété de l'inverse $b^{\log_b x} = x$ pour simplifier :
$$ \left(b^{\log_b x}\right)^4 = x^4 $$

Étape 3 : Substituez ceci de nouveau dans l'équation d'origine :
$$ 2x \cdot x^4 = 486 $$

Étape 4 : Simplifiez et résolvez pour $x$ :
$$ 2x^5 = 486 $$
$$ x^5 = 243 $$
$$ x = 243^{1/5} = \sqrt[5]{243} = 3 $$

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition.
Tous les arguments des logarithmes doivent être strictement positifs :
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
$2x - 1 > 0 \Rightarrow x > 0,5$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
L'intersection de ces conditions est $x > 1$. Par conséquent, le domaine est $(1, \infty)$.

Étape 2 : Utilisez les règles de la puissance et du produit logarithmique pour condenser les deux côtés :
$$ \ln((x - 1)(2x - 1)) = \ln((x + 1)^2) $$

Étape 3 : Parce que le logarithme népérien est injectif, nous pouvons supprimer les logarithmes et égaler les arguments :
$$ (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)^2 $$

Étape 4 : Développez les deux côtés :
$$ 2x^2 - 3x + 1 = x^2 + 2x + 1 $$

Étape 5 : Regroupez les termes et résolvez l'équation quadratique :
$$ x^2 - 5x = 0 $$
$$ x(x - 5) = 0 $$
Solutions : $x = 0$ et $x = 5$.

Étape 6 : Vérifier par rapport au domaine de définition.
$x = 0$ n'est pas supérieur à 1, cela crée donc des arguments négatifs (solution étrangère). Seul $x = 5$ appartient au domaine.
Réponse finale : $x = 5$

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition.
À l'intérieur de la racine carrée : $x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.
À l'intérieur du logarithme : $\sqrt{x - 1} - 2 > 0 \Rightarrow \sqrt{x - 1} > 2 \Rightarrow x - 1 > 4 \Rightarrow x > 5$.
Le domaine est $x > 5$.

Étape 2 : L'abscisse à l'origine se produit lorsque $y = 0$ :
$$ 0 = 2 \log(\sqrt{x - 1} - 2) $$

Étape 3 : Divisez par 2 et réécrivez sous forme exponentielle (base 10) :
$$ \log(\sqrt{x - 1} - 2) = 0 $$
$$ \sqrt{x - 1} - 2 = 10^0 = 1 $$

Étape 4 : Isolez la racine carrée et résolvez pour $x$ :
$$ \sqrt{x - 1} = 3 $$
$$ x - 1 = 3^2 = 9 $$
$$ x = 10 $$

Étape 5 : Vérifier.
$x = 10$ est strictement supérieur à 5, il est donc dans le domaine.
Réponse finale : L'abscisse à l'origine est à $(10, 0)$.

Étape 1 : Reconnaissez qu'il s'agit d'une équation quadratique déguisée. Réécrivez $9^x$ en termes de base 3 :
$$ 9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 $$
Ainsi, l'équation devient :
$$ (3^x)^2 - 3^x - 8 = 0 $$

Étape 2 : Soit $y = 3^x$ et réécrivez l'équation :
$$ y^2 - y - 8 = 0 $$

Étape 3 : Résolvez pour $y$ en utilisant la formule quadratique ($a=1, b=-1, c=-8$) :
$$ y = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} $$
$$ y = \dfrac{1 \pm \sqrt{33}}{2} $$

Étape 4 : Substituez de nouveau $y = 3^x$. Parce qu'une fonction exponentielle $3^x$ doit être strictement positive, nous devons rejeter la racine négative $\left(\dfrac{1 - \sqrt{33}}{2}\right)$.
$$ 3^x = \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} $$

Étape 5 : Prenez le logarithme népérien ($\ln$) des deux côtés pour résoudre pour $x$ :
$$ \ln(3^x) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x \ln(3) = \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) $$
$$ x = \dfrac{ \ln\left( \dfrac{1 + \sqrt{33}}{2} \right) }{ \ln(3) } $$

Étape 1 : Prenez le logarithme népérien ($\ln$) des deux côtés :
$$ \ln\left(4^{x - 2}\right) = \ln\left(3^{x + 4}\right) $$

Étape 2 : Abaissez les exposants en utilisant la règle de la puissance :
$$ (x - 2)\ln(4) = (x + 4)\ln(3) $$

Étape 3 : Développez les deux côtés :
$$ x \ln(4) - 2 \ln(4) = x \ln(3) + 4 \ln(3) $$

Étape 4 : Regroupez les termes contenant $x$ d'un côté et les constantes de l'autre :
$$ x \ln(4) - x \ln(3) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$

Étape 5 : Factorisez $x$ et résolvez :
$$ x (\ln(4) - \ln(3)) = 4 \ln(3) + 2 \ln(4) $$
$$ x = \dfrac{4 \ln(3) + 2 \ln(4)}{\ln(4) - \ln(3)} $$

Étape 6 (Facultatif) : Condensez le logarithme pour une réponse finale plus claire :
Numérateur : $\ln(3^4) + \ln(4^2) = \ln(81) + \ln(16) = \ln(81 \cdot 16) = \ln(1296)$. Remarque : $1296 = 6^4$, donc ceci est $4\ln(6)$.
Dénominateur : $\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)$.
$$ x = \dfrac{4 \ln(6)}{\ln\left(\dfrac{4}{3}\right)} $$

Étape 1 : Réécrivez l'équation logarithmique sous forme exponentielle :
$$ x^{-3/4} = \dfrac{1}{8} $$

Étape 2 : Pour isoler $x$, élevez les deux côtés de l'équation à la puissance de l'inverse, $-\dfrac{4}{3}$ :
$$ \left(x^{-3/4}\right)^{-4/3} = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$
$$ x^1 = \left(\dfrac{1}{8}\right)^{-4/3} $$

Étape 3 : Simplifiez le côté droit. L'exposant négatif inverse la fraction :
$$ x = 8^{4/3} $$

Étape 4 : Évaluez $8^{4/3}$ (racine cubique d'abord, puis 4ème puissance) :
$$ x = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16 $$

Réponse finale : $x = 16$