Questions et problèmes sur les paraboles avec solutions détaillées

Les abscisses à l'origine sont les intersections de la parabole avec l'axe des x, ce sont des points sur l'axe x dont les coordonnées y sont égales à 0. Nous devons donc résoudre l'équation :

$$ 0 = - x^2 + 2x + 3 $$

Factorisez le côté droit de l'équation : $$ -(x - 3)(x + 1) = 0 $$

Résolvez pour x pour trouver : $$ x = 3 \quad \text{et} \quad x = -1 $$

L'ordonnée à l'origine est l'intersection de la parabole avec l'axe des y, un point sur l'axe y dont la coordonnée x est égale à 0.

L'ordonnée à l'origine est : $y = - (0)^2 + 2 (0) + 3 = 3$

Le sommet est trouvé en écrivant l'équation de la parabole sous la forme canonique $y = a(x - h)^2 + k$ en complétant le carré et en identifiant les coordonnées du sommet $h$ et $k$.

Complétez le carré : $$ y = - x^2 + 2 x + 3 = -( x^2 - 2 x - 3) = -( (x - 1)^2 - 1 - 3) = -(x - 1 )^2 + 4 $$

Sommet au point : $$ (1 , 4) $$

Les points d'intersection sont les solutions des équations simultanées $$ 2x + 3y = 7 \quad \text{et} \quad y = - 2 x^2 + 2 x + 5 $$

Remplacez $y$ par $- 2 x^2 + 2 x + 5$ dans l'équation $2x + 3y = 7$ pour obtenir :

$$ 2x + 3(- 2x^2 + 2x + 5) = 7 $$

Mettez l'équation quadratique obtenue ci-dessus sous forme standard :

$$ -6x^2 + 8x + 8 = 0 $$

Divisez tous les termes par 2 : $$ -3x^2 + 4x + 4 = 0 $$

Solution pour x : $$ x = 2 \quad , \quad x = -2/3 $$

Remplacez x dans $2x + 3y = 7$ pour trouver y : $$ x = 2 , y = 1 \quad \text{et} \quad x = -\frac{2}{3}, y = \frac{25}{9} $$

Les points d'intersection sont : $$ (2 , 1) \quad \text{et} \quad (-\frac{2}{3} , \frac{25}{9}) $$

Les points d'intersection sont les solutions des équations simultanées :

$$ y = -(x - 3)^2 + 2 \quad \text{et} \quad y = x^2 - 4x + 1 $$

Remplacez $y$ par $-(x - 3)^2 + 2$ dans la deuxième équation :

$$ -(x - 3)^2 + 2 = x^2 - 4x + 1 $$

Développez, regroupez les termes semblables et écrivez sous forme standard :

$$ -2x^2 + 10x - 8 = 0 $$

Divisez par -2 : $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$

Les solutions sont : $$ x = 1 \quad \text{et} \quad x = 4 $$

Points d'intersection : $$ (1 , -2) \quad \text{et} \quad (4 , 1) $$

Les points $(-1,-5)$ et $(2,10)$ sont sur le graphique de la parabole. En remplaçant par les coordonnées des deux points, nous obtenons :

$$ -5 = 2 (-1)^2 + b (-1) + c \quad \text{et} \quad 10 = 2 (2)^2 + b (2) + c $$

Système sous forme standard :

$$ - b + c = - 7 $$

$$ 2b + c = 2 $$

Résolvez le système pour obtenir : $c = - 4$ et $b = 3$

L'équation est : $$ y = 2 x^2 + 3 x - 4 $$

L'équation peut s'écrire sous forme factorisée :

$$ y = a(x - 2)(x + 3) $$

Utilisez l'ordonnée à l'origine (0, 5) pour trouver $a$ :

$$ 5 = a(0 - 2)(0 + 3) \implies 5 = -6a \implies a = - \frac{5}{6} $$

Équation : $$ y = - \frac{5}{6} (x - 2)(x + 3) $$

Écrivez le système de 3 équations :

$$ (0,3) \Rightarrow c = 3 $$

$$ (1,-4) \Rightarrow a + b + c = -4 $$

$$ (-1,4) \Rightarrow a - b + c = 4 $$

Résolvez pour obtenir : $a = - 3$ et $b = - 4$.

L'équation est : $$ y = -3 x^2 - 4x + 3 $$

Puisqu'elle est tangente à la droite horizontale $y = 3$ en $x = -2$, le sommet est $(-2, 3)$. Sous forme canonique :

$$ y = a(x + 2)^2 + 3 $$

Passe par $(0, 5)$ : $$ 5 = a(0 + 2)^2 + 3 \implies 4a = 2 \implies a = \frac{1}{2} $$

Équation : $$ y = \frac{1}{2}(x + 2)^2 + 3 $$

Égalisez les équations pour trouver les points d'intersection : $$ mx - 3 = 3 x^2 - x $$

$$ 3 x^2 - x(1 + m) + 3 = 0 $$

La droite est tangente si le discriminant $\Delta = 0$ :

$$ \Delta = (1 + m)^2 - 4(3)(3) = 0 $$

$$ (1 + m)^2 = 36 \implies m = 5 \text{ ou } m = -7 $$

Intersection : $$ 2x + b = - x^2 - 2x + 1 \implies x^2 + 4x + b - 1 = 0 $$

Deux points d'intersection si $\Delta > 0$ :

$$ \Delta = 4^2 - 4(1)(b - 1) = 16 - 4b + 4 = 20 - 4b $$

$$ 20 - 4b > 0 \implies b < 5 $$

Intersection : $$ a x^2 + x = 3 x + 1 \implies a x^2 - 2 x - 1 = 0 $$

Tangente si $\Delta = 0$ :

$$ \Delta = (-2)^2 - 4(a)(-1) = 4 + 4a = 0 \implies a = -1 $$

Équation : $$ y = -x^2 + x $$

1. À gauche de 3 : $y = (x + 3)^2$

2. Réflexion : $y = -(x + 3)^2$

3. Vers le haut de 4 : $y = -(x + 3)^2 + 4$

Forme canonique : $y = -(x - 2)^2 + 10$.

Transformations : translation à droite de 2 unités, réflexion par rapport à l'axe des x, translation vers le haut de 10 unités.

En utilisant les abscisses à l'origine (-5, 0) et (-1, 0) : $y = a(x + 5)(x + 1)$.

En utilisant l'ordonnée à l'origine (0, -5) : $-5 = a(5)(1) \implies a = -1$.

Équation : $y = -(x + 5)(x + 1) = -x^2 - 6x - 5$.