Comment simplifier les expressions rationnelles ? Les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et de division des expressions rationnelles sont utilisées pour simplifier les fractions algébriques complexes. Des exemples de 11e année sont présentés ci-dessous accompagnés de solutions détaillées étape par étape.
Astuce : Vous pouvez utiliser notre calculatrice en ligne pour simplifier les expressions rationnelles afin de vérifier vos résultats finaux.
Si vous avez des difficultés, consultez les tutoriels sur l' Addition et soustraction et la Multiplication et division avant de commencer.
| Addition et soustraction (Nécessite un dénominateur commun) |
\[ \dfrac{A}{B} \pm \dfrac{C}{B} = \dfrac{A \pm C}{B} \] |
| Multiplication | \[ \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{C}{D} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot D} \] |
| Division (Multiplier par l'inverse) |
\[ \dfrac{A}{B} \div \dfrac{C}{D} = \dfrac{\dfrac{A}{B}}{\dfrac{C}{D}} = \dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C} = \dfrac{A \cdot D}{B \cdot C} \] |
Simplifiez : \[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Nous simplifions d'abord le numérateur \( \dfrac{2}{3} + 5 \). Convertissez en un dénominateur commun.
\[ \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{2}{3} + 5 \cdot \dfrac{3}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Changez 4 en une fraction \( \dfrac{4}{1} \) et simplifiez en divisant les fractions (en multipliant par l'inverse).
\[ = \dfrac{\dfrac{17}{3}}{\dfrac{4}{1}} +\dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{3} \cdot \dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2} \]
Multipliez les fractions.
\[ = \dfrac{17 \cdot 1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \]
Convertissez en un dénominateur commun et additionnez.
\[ = \dfrac{17}{12} +\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{6}{6} = \dfrac{17+6}{12} = \mathbf{\dfrac{23}{12}} \]
Simplifiez : \[ \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{x}{x+1}}{\dfrac{1}{x+1}} \]
Nous simplifions d'abord le numérateur en le convertissant au plus petit dénominateur commun \( (x - 2)(x + 1) \).
\[ = \dfrac{\dfrac{x+1}{x-2} \cdot \dfrac{x+1}{x+1} +\dfrac{x}{x+1} \cdot \dfrac{x-2}{x-2} }{\dfrac{1}{x+1}} \]
\[ = \dfrac{ \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{(x+1)(x-2)} }{\dfrac{1}{x+1}}\]
Appliquez la règle de division en multipliant par l'inverse du dénominateur.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{(x+1)(x-2)} \cdot \dfrac{x+1}{1} \]
Simplifiez en annulant les facteurs communs.
\[ = \dfrac{((x+1)^2+x(x-2))}{{\cancel{(x+1)}}(x-2)} \cdot \dfrac{\cancel{(x+1)}}{1} = \dfrac{(x+1)^2+x(x-2)}{x-2}\]
Développez et simplifiez le numérateur.
\[ = \dfrac{(x^2+2x+1) + (x^2-2x)}{x-2} = \mathbf{\dfrac{2x^2+1}{x-2}} \;\; \text{pour} \;\; x \ne -1\]
Simplifiez : \[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Convertissez les termes du numérateur au même dénominateur.
\[ \dfrac{\dfrac{x-1}{3x+2}+3 \cdot \dfrac{3x+2}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 = \dfrac{\dfrac{x - 1 +3(3x+2)}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Développez et simplifiez le haut.
\[ = \dfrac{\dfrac{10x + 5}{3x+2}}{\dfrac{x+1}{6x+4}} - 2 \]
Multipliez par l'inverse.
\[ = \dfrac{10x + 5}{3x+2} \cdot \dfrac{6x+4}{x+1} - 2 \]
Factorisez les constantes pour trouver des annulations communes.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{3x+2} \cdot \dfrac {2(3x+2)}{x+1} - 2 \]
Annulez \( (3x+2) \) et multipliez.
\[ = \dfrac{5(2x + 1)}{{\cancel{3x+2}}} \cdot \dfrac {2{\cancel{(3x+2)}}}{x+1} - 2 = \dfrac{10 (2x+1)}{x+1}-2 \]
Convertissez au même dénominateur et combinez.
\[ = \dfrac{10(2x+1)}{x+1} - 2 \cdot \dfrac{x+1}{x+1} = \dfrac{20x + 10 - 2x - 2}{x+1} = \dfrac{18x+8}{x+1} = \mathbf{\dfrac{2(9x+4)}{x+1}} \]
Simplifiez : \[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x+\dfrac{1}{x+1}}} \]
Commencez par la fraction la plus profonde et remontez. Convertissez les termes dans \( x + \dfrac{1}{x+1} \) au même dénominateur.
\[ \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{x \cdot \dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{1}{x+1}}} = \dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\dfrac{x^2+x+1}{x+1}}} \]
Notez que \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} \) est l'inverse \( \dfrac{B}{A} \).
\[ = \dfrac{1}{1+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
Convertissez les termes restants du dénominateur vers un dénominateur commun.
\[ = \dfrac{1}{1 \cdot \dfrac{x^2+x+1}{x^2+x+1}+ \dfrac{x+1}{x^2+x+1}} \]
Simplifiez et additionnez.
\[ = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+x+1+x+1}{x^2+x+1}} = \dfrac{1}{ \dfrac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}}\]
Prenez l'inverse final.
\[ = \mathbf{\dfrac{x^2+x+1}{x^2+2x+2}} \]
Simplifiez les expressions suivantes. Cliquez sur "Voir la solution" pour vérifier vos réponses.
Problème : \( \dfrac{\dfrac{2}{5} + 7}{\dfrac{4}{3}} +\dfrac{1}{3} \)
Réponse : \( \dfrac{353}{60} \)
Problème : \( \dfrac{\dfrac{x-2}{x+3}+\dfrac{x}{x+3}}{\dfrac{1}{2x+6}} \)
Réponse : \( 4(x-1) \)
Problème : \( \dfrac{\dfrac{x-1}{3x-12}+3}{\dfrac{x+1}{x-4}} - \dfrac{2}{3} \)
Réponse : \( \dfrac{8x-39}{3(x+1)} \)
Problème : \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+1}-\dfrac{4}{x+1}}{\dfrac{1}{x-5}-\dfrac{4}{x-5}} \)
Réponse : \( \dfrac{ (x+2)(x-5)}{3(x+1)} \)
Problème : \( \dfrac{ \dfrac{2-x}{x+2} - \dfrac{4}{x+3}}{\dfrac{1}{x+3} \cdot \dfrac{4}{x+3}} \)
Réponse : \( \dfrac{(-x^2-5x-2)(x+3)}{4(x+2)} \)
Problème : \( \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1+\dfrac{1}{\dfrac{1}{x-1}-2}} \)
Réponse : \( \dfrac{-2x+3}{2(-x+2)} \)
Défi 1 : Simplifiez une fraction complexe nécessitant la factorisation polynomiale.
\[ \dfrac{ \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} }{ \dfrac{x+3}{x-2} } \]
Étape 1 : Appliquez la règle de division (multiplier par l'inverse).
\[ = \dfrac{x^2-9}{x^2-4x+4} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
Étape 2 : Factorisez les numérateurs et les dénominateurs. Notez la différence de carrés et le trinôme carré parfait.
\[ = \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x-2)} \cdot \dfrac{x-2}{x+3} \]
Étape 3 : Annulez les facteurs communs \( (x+3) \) et \( (x-2) \).
\[ = \dfrac{(x-3){\cancel{(x+3)}}}{(x-2){\cancel{(x-2)}}} \cdot \dfrac{\cancel{x-2}}{\cancel{x+3}} \]
Réponse : \( \mathbf{\dfrac{x-3}{x-2}} \)
Défi 2 : Additionnez et soustrayez des expressions rationnelles avec des dénominateurs quadratiques.
\[ \dfrac{2x}{x^2-1} - \dfrac{1}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} \]
Étape 1 : Factorisez tous les dénominateurs pour trouver le plus petit dénominateur commun (PPCM). Ici, \( x^2-1 = (x-1)(x+1) \).
Le PPCM est \( (x-1)(x+1) \).
Étape 2 : Réécrivez chaque fraction avec le PPCM.
\[ \dfrac{2x}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} + \dfrac{3 \cdot (x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Étape 3 : Combinez au-dessus du dénominateur unique. Soyez prudent en distribuant le signe négatif !
\[ = \dfrac{2x - (x+1) + 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Étape 4 : Développez et combinez les termes semblables dans le numérateur.
\[ = \dfrac{2x - x - 1 + 3x - 3}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{4x - 4}{(x-1)(x+1)} \]
Étape 5 : Factorisez le numérateur pour voir si autre chose s'annule.
\[ = \dfrac{4(x-1)}{(x-1)(x+1)} \]
Réponse : \( \mathbf{\dfrac{4}{x+1}} \)
Défi 3 : Simplifiez une fraction continue à plusieurs niveaux.
\[ 2 - \dfrac{1}{2 - \dfrac{1}{2 - x}} \]
Étape 1 : Simplifiez le dénominateur le plus interne \( 2 - \dfrac{1}{2 - x} \).
\[ 2 \cdot \dfrac{2-x}{2-x} - \dfrac{1}{2-x} = \dfrac{4 - 2x - 1}{2-x} = \dfrac{3 - 2x}{2-x} \]
Étape 2 : Substituez ceci dans l'équation principale. Rappelez-vous que \( \dfrac{1}{\dfrac{A}{B}} = \dfrac{B}{A} \).
\[ 2 - \dfrac{1}{\dfrac{3 - 2x}{2-x}} = 2 - \dfrac{2-x}{3-2x} \]
Étape 3 : Trouvez un dénominateur commun pour combiner les termes finaux.
\[ = \dfrac{2(3-2x)}{3-2x} - \dfrac{2-x}{3-2x} = \dfrac{6 - 4x - (2 - x)}{3-2x} \]
Étape 4 : Combinez les termes semblables.
\[ = \dfrac{6 - 4x - 2 + x}{3-2x} \]
Réponse : \( \mathbf{\dfrac{4 - 3x}{3 - 2x}} \)