Identités trigonométriques et cercle trigonométrique

Dérivation des propriétés et preuves utilisant la symétrie

Comment pouvez-vous utiliser le cercle trigonométrique pour trouver des propriétés et des identités trigonométriques pour les fonctions sinus et cosinus ?

Un cercle possède un nombre infini de symétries. Ici, nous nous intéressons spécifiquement aux symétries par rapport à l'axe des x, l'axe des y, l'origine, et la droite \( y = x \). L'utilisation de ces symétries géométriques nous permet de déduire visuellement et d'écrire plusieurs identités fondamentales en trigonométrie.

Identités dues à la symétrie par rapport à l'origine, à l'axe des x et à l'axe des y

Quatre angles \( \theta \), \( \pi - \theta \), \( \pi + \theta \), et \( 2\pi - \theta \) sont illustrés ci-dessous dans un cercle trigonométrique. Chaque angle correspond à un point (\( A, B, C \), ou \( D \)) sur le cercle.

Symétrie dans le cercle trigonométrique montrant un rectangle formé par 4 points

Les quatre angles ont le même angle de référence égal à \( \theta \). En raison de la symétrie du cercle trigonométrique, les quatre points forment un rectangle \( ABCD \). Étant donné les coordonnées \( (a, b) \) du point \( A \), nous pouvons trouver les coordonnées des autres par réflexion :

Identités déduites

Depuis les points A et B (Symétrie par rapport à l'axe des y) :

\[ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \]

Depuis les points A et C (Symétrie par rapport à l'origine) :

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

Depuis les points A et D (Symétrie par rapport à l'axe des x) :

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \]

Angles négatifs (Symétrie par rapport à l'axe des x)

Deux angles \( \theta \) et \( -\theta \) sont illustrés ci-dessous, correspondant aux points \( A \) et \( D \).

Symétrie dans le cercle trigonométrique montrant des angles positifs et négatifs

Les points \( A \) et \( D \) sont des réflexions l'un de l'autre par rapport à l'axe des x. Comme vu précédemment, leurs coordonnées sont \( A(a,b) \) et \( D(a,-b) \). Cela donne les identités trigonométriques "Paire/Impaire" :

\[ \cos(-\theta) = \cos\theta \]

\[ \sin(-\theta) = -\sin\theta \]

Identités dues à la symétrie par rapport à la droite \( y = x \)

Les points \( A \) et \( B \) illustrés ci-dessous sont des réflexions l'un de l'autre par rapport à la droite diagonale \( y = x \). En raison de cette symétrie, les angles correspondants sont \( \theta \) et \( \dfrac{\pi}{2} - \theta \).

Symétrie dans le cercle trigonométrique par rapport à la droite y = x

La réflexion par rapport à \( y = x \) échange les coordonnées x et y. Si \( A \) est \( (a, b) \), alors \( B \) est \( (b, a) \).

Identités de cofonction

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \sin\theta \]

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta \right) = \cos\theta \]

Vérification algébrique des identités

Nous pouvons prouver toutes les symétries visuelles que nous venons de découvrir algébriquement en utilisant les formules standard d'addition et de soustraction d'angles :

1. Vérification : \( \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi - \theta) = \cos\pi \cos\theta + \sin\pi \sin\theta \]

En utilisant \( \cos\pi = -1 \) et \( \sin\pi = 0 \) :

\[ = (-1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

2. Vérification : \( \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \)

\[ \sin(\pi - \theta) = \sin\pi \cos\theta - \cos\pi \sin\theta \]

En utilisant \( \sin\pi = 0 \) et \( \cos\pi = -1 \) :

\[ = (0)\cos\theta - (-1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

3. Vérification : \( \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \)

\[ \cos(\pi + \theta) = \cos\pi \cos\theta - \sin\pi \sin\theta \]

\[ = (-1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{-\cos\theta} \]

4. Vérification : \( \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(\pi + \theta) = \sin\pi \cos\theta + \cos\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

5. Vérification : \( \cos(2\pi - \theta) = \cos\theta \)

\[ \cos(2\pi - \theta) = \cos 2\pi \cos\theta + \sin 2\pi \sin\theta \]

En utilisant \( \cos 2\pi = 1 \) et \( \sin 2\pi = 0 \) :

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

6. Vérification : \( \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \)

\[ \sin(2\pi - \theta) = \sin 2\pi \cos\theta - \cos 2\pi \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

7. Vérification : \( \cos(-\theta) = \cos\theta \)

Réécrivez comme \( \cos(0 - \theta) \) :

\[ \cos(0 - \theta) = \cos 0 \cos\theta + \sin 0 \sin\theta \]

En utilisant \( \cos 0 = 1 \) et \( \sin 0 = 0 \) :

\[ = (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

8. Vérification : \( \sin(-\theta) = -\sin\theta \)

Réécrivez comme \( \sin(0 - \theta) \) :

\[ \sin(0 - \theta) = \sin 0 \cos\theta - \cos 0 \sin\theta \]

\[ = (0)\cos\theta - (1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

9. Vérification : \( \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \)

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\dfrac{\pi}{2} \cos\theta + \sin\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

En utilisant \( \cos\dfrac{\pi}{2} = 0 \) et \( \sin\dfrac{\pi}{2} = 1 \) :

\[ = (0)\cos\theta + (1)\sin\theta = \mathbf{\sin\theta} \]

10. Vérification : \( \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta \)

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} \cos\theta - \cos\dfrac{\pi}{2} \sin\theta \]

\[ = (1)\cos\theta - (0)\sin\theta = \mathbf{\cos\theta} \]

Questions de défi

Appliquez votre compréhension de la symétrie, des identités et des formules d'addition d'angles pour résoudre les problèmes de défi suivants.

Défi 1 (Symétrie de la tangente) : En utilisant les symétries du sinus et du cosinus dérivées ci-dessus, prouvez que la fonction tangente a une période de \( \pi \). C'est-à-dire, prouvez que \( \tan(\pi + \theta) = \tan\theta \).

Voir la preuve

Étape 1 : Utilisez l'identité du quotient pour réécrire la tangente en termes de sinus et de cosinus.

\[ \tan(\pi + \theta) = \dfrac{\sin(\pi + \theta)}{\cos(\pi + \theta)} \]

Étape 2 : Substituez les symétries pour la réflexion par rapport à l'origine (Quadrant III).

\[ \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \]

\[ \cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \]

Étape 3 : Simplifiez la fraction.

\[ \dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \mathbf{\tan\theta} \]

Défi 2 (Application des symétries) : Évaluez la valeur exacte de l'expression suivante sans calculatrice : \[ \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) \]

Voir la solution

Étape 1 : Simplifier le terme sinus.
Trouvez un angle coterminal pour \( \dfrac{13\pi}{4} \) en soustrayant \( 2\pi \) (\( \dfrac{8\pi}{4} \)).
\( \sin\left(\dfrac{13\pi}{4}\right) = \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) \).
Ceci est dans le quadrant III, lié à \( \dfrac{\pi}{4} \). Par conséquent, \( \sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \).

Étape 2 : Simplifier le terme cosinus.
Utilisez l'identité de fonction paire : \( \cos(-\theta) = \cos(\theta) \).
\( \cos\left(-\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \).
Ceci est dans le quadrant II, lié à \( \dfrac{\pi}{6} \). Par conséquent, \( \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \).

Étape 3 : Multipliez les valeurs.

\[ \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{6}}{4}} \]

Défi 3 (Cofonctions avancées) : Utilisez les formules d'addition d'angles pour vérifier l'identité pour la réflexion par rapport à la limite du quadrant III/IV (c'est-à-dire l'axe des y négatif) : \[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = -\sin\theta \]

Voir la preuve

Étape 1 : Développez en utilisant la formule de la différence de cosinus : \( \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \).

\[ \cos\left(\dfrac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \cos\theta + \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) \sin\theta \]

Étape 2 : Évaluez les valeurs trigonométriques à \( \dfrac{3\pi}{2} \) (270 degrés).

Nous savons qu'au bas du cercle trigonométrique, les coordonnées sont \( (0, -1) \). Donc, \( \cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \) et \( \sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = -1 \).

Étape 3 : Substituez et simplifiez.

\[ = (0)\cos\theta + (-1)\sin\theta = \mathbf{-\sin\theta} \]

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