Problèmes de trigonométrie de 11e année avec solutions

a) Soit \( P \) la position du passager (voir figure ci-dessous).

La hauteur \( h \) du passager est donnée par :

\[ h = 1 + 25 + y = y + 26 \]

Ici, \( y \) dépend de l'angle de rotation \( A \). En utilisant la trigonométrie, nous écrivons :

\[ \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - A\right) = \dfrac{y}{\text{rayon}} = \dfrac{y}{25} \quad \Rightarrow \quad y = 25 \cos(A) \]

L'angle \( A \) dépend de la vitesse angulaire \( \omega \) comme suit : \( A = \omega t \).

La vitesse angulaire \( \omega \) est donnée par :

\[ \omega = \dfrac{2\pi}{36} = \dfrac{\pi}{18} \text{ radians/seconde} \]

En substituant dans l'expression de la hauteur, nous trouvons :

\[ h(t) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} t\right) + 26 \]

où \( t \) est en secondes et la hauteur est en mètres.

b) Pour trouver la hauteur à \( t = 45 \) secondes :

\[ h(45) = 25 \cos\left(\dfrac{\pi}{18} \cdot 45\right) + 26 = 25 \cos\left(\dfrac{45\pi}{18}\right) + 26 \]

\[ = 25 \cos\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) + 26 = 25 \cdot 0 + 26 = \mathbf{26 \text{ mètres}} \]

En utilisant la figure ci-dessous,

Nous écrivons les équations suivantes basées sur les triangles rectangles formés :

\[ \tan(35^\circ) = \dfrac{h}{x} \quad \text{et} \quad \tan(45^\circ) = \dfrac{h}{x - 20} \]

où \( h \) est la hauteur de l'arbre. En résolvant les deux équations pour \( x \), nous obtenons :

\[ x = \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} \quad \text{et} \quad x = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

En égalisant les deux expressions pour \( x \) :

\[ \dfrac{h}{\tan(35^\circ)} = \dfrac{h}{\tan(45^\circ)} + 20 \]

En résolvant pour \( h \) :

\[ h = \dfrac{20 \cdot \tan(35^\circ) \cdot \tan(45^\circ)}{\tan(45^\circ) - \tan(35^\circ)} = \mathbf{46,7 \text{ mètres}} \]

En utilisant la figure ci-dessous, nous écrivons les équations suivantes basées sur les relations trigonométriques :

\[ \tan (90^\circ - 15^\circ) = \tan(75^\circ) = \dfrac{y}{200} \quad \text{et} \quad \tan(90^\circ - 13^\circ) = \tan(77^\circ) = \dfrac{y + x}{200} \]

Éliminez \( y \) des deux équations et résolvez pour \( x \) :

\[ x = 200 \left[ \tan(77^\circ) - \tan(75^\circ) \right] = \mathbf{119,9 \text{ mètres}} \]

Soient \( R_1 \) et \( R_2 \) les rayons de l'engrenage 1 et de l'engrenage 2. Soient \( S_1 \) et \( S_2 \) les arcs de rotation des engrenages 1 et 2 respectivement. Puisque les engrenages interconnectés ont une vitesse tangentielle égale (mesurée en pouces par seconde), les arcs \( S_1 \) et \( S_2 \) sont de longueur égale.

\[ R_1 \times t_1 = R_2 \times t_2 \]

Ici, \( t_1 \) et \( t_2 \) sont les angles de rotation des engrenages plus grand et plus petit respectivement.

\[ 10 \times t_1 = 4 \times 890^\circ \]

\[ t_1 = 356^\circ \]

La vitesse angulaire est calculée comme suit :

\[ \text{Vitesse angulaire} = \dfrac{356^\circ}{4 \text{ secondes}} = 89^\circ \text{ par seconde} \]

\[ = 89^\circ \times \dfrac{60}{1} = \mathbf{5340^\circ \text{ par minute}} \]

L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle. Par conséquent,

a) \( \sin(t) = \dfrac{x}{20} \) ou \( \mathbf{x = 20 \sin(t)} \)

b) \( x = \dfrac{1}{4} \times 20 = 5 \)

Substituez dans l'équation : \( 5 = 20 \sin(t) \Rightarrow \sin(t) = \dfrac{1}{4} \)

Résolvez pour \( t \) : \[ t = \arcsin\left(\dfrac{1}{4}\right) \approx \mathbf{14,48^\circ} \]

Commencez par le côté droit :

\[ \cos(x) - \sin(3x) = \cos(x) - \sin(x + 2x) \]

Développez \( \sin(x + 2x) \) :

\[ = \cos(x) - \sin(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) \]

---

Développez maintenant le produit du côté gauche :

\[ [\cos(x) - \sin(x)][\cos(2x) - \sin(2x)] \]

\[ = \cos(x)\cos(2x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) + \sin(x)\sin(2x) \]

Utilisez les identités \( \cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) \) et \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) pour transformer les premier et dernier termes :

\[ = \cos(x)(1 - 2\sin^2(x)) + \sin(x)\cdot 2\sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

\[ = \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x) + 2\cos(x)\sin^2(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

Les termes \( 2\cos(x)\sin^2(x) \) s'annulent :

\[ = \cos(x) - \cos(x)\sin(2x) - \sin(x)\cos(2x) \]

Le côté gauche a été transformé de sorte qu'il corresponde au côté droit. La preuve est complète.

Développez et simplifiez la première équation en utilisant les identités de cofonction :

\[ \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\cos(x) + \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\sin(x) = \mathbf{\sin(x) = -\dfrac{3}{5}} \]

Développez et simplifiez la deuxième équation :

\[ \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right) + \cos(x) \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \cos(x) = \dfrac{4}{5} \]

Calculez maintenant \( \tan(x) \) :

\[ \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{-3/5}{4/5} = \mathbf{-\dfrac{3}{4}} \]

La formule d'addition pour la tangente peut être utilisée à l'envers ici :

\[ \dfrac{\tan(25^\circ) + \tan(50^\circ)}{1 - \tan(25^\circ)\tan(50^\circ)} = \tan(25^\circ + 50^\circ) \]

\[ = \tan(75^\circ) \]

\[ = \tan(45^\circ + 30^\circ) \]

Développez en utilisant les angles spéciaux :

\[ = \dfrac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} \]

\[ = \dfrac{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}} \]

Multipliez le numérateur et le dénominateur par 3 :

\[ = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \]

Rationalisez le dénominateur :

\[ = \mathbf{\sqrt{3} + 2} \]

Étant donné \( \sin(s) = \dfrac{1}{4} \) et \( \sin(t) = -\dfrac{1}{2} \), et leurs quadrants respectifs, utilisez l'identité pythagoricienne pour trouver \( \cos(s) \) et \( \cos(t) \).

\[ \cos(s) = -\dfrac{\sqrt{15}}{4} \quad \text{et} \quad \cos(t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \]

Nous développons maintenant la formule d'addition de la tangente en utilisant le sinus et le cosinus :

\[ \tan(s + t) = \dfrac{\sin(s + t)}{\cos(s + t)} \]

\[ = \dfrac{\sin(s)\cos(t) + \cos(s)\sin(t)}{\cos(s)\cos(t) - \sin(s)\sin(t)} \]

Substituez les valeurs :

\[ = \dfrac{ (\dfrac{1}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) + (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(-\dfrac{1}{2}) }{ (-\dfrac{\sqrt{15}}{4})(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) - (\dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{2}) } \]

\[ = \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{8} + \dfrac{\sqrt{15}}{8}}{-\dfrac{\sqrt{45}}{8} + \dfrac{1}{8}} \]

Multipliez par 8 et simplifiez \( \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \) :

\[ = \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{1 - 3\sqrt{5}} \]

La rationalisation du dénominateur donne :

\[ = \mathbf{-\dfrac{4\sqrt{3} + \sqrt{15}}{11}} \]

D'abord, réduisez l'angle dans un quadrant familier :

\[ \cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \cos\left(\dfrac{\pi}{12} + \pi\right) = -\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

Appliquez maintenant la formule de l'angle moitié puisque \( \dfrac{\pi}{12} \) est la moitié de \( \dfrac{\pi}{6} \) :

\[ = -\cos\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)} \]

Substituez \( \cos(\pi/6) = \sqrt{3}/2 \) :

\[ = -\sqrt{\dfrac{1}{2}\left(1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)} \]

\[ = \mathbf{-\sqrt{\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}}} \]

La fonction \( f \) est donnée sous la forme :

\[ f(x) = a \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

Cela représente un décalage vertical du graphique de \( g(x) \) vers le haut de 2 unités. Nous avons la valeur donnée \( f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1 \).

Substituez \( x = \dfrac{\pi}{2} \) dans la fonction :

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2 \]

\[ 1 = a \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) + 2 \]

En utilisant la valeur connue \( \sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} \), nous obtenons :

\[ 1 = a \cdot \dfrac{1}{2} + 2 \]

\[ a \cdot \dfrac{1}{2} = -1 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]

Équation finale :

\[ \mathbf{f(x) = -2 \sin\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) + 2} \]

La forme générale de la fonction est donnée par :

\[ y = A \sin(Bx - C) + D \]

D'après le problème, nous connaissons : Amplitude \( A = 5/3 \), Décalage vertical \( D = 4 \), et Déphasage \( C = 0 \).

Nous savons que la période est \( \pi/2 \). La relation entre la période et \( B \) est :

\[ \text{Période} = \dfrac{2\pi}{B} = \dfrac{\pi}{2} \]

En résolvant pour \( B \) :

\[ B = 4 \]

Substituez \( A \), \( B \), et \( D \) dans la fonction :

\[ \mathbf{y = \dfrac{5}{3} \sin(4x) + 4} \]

Pour trouver la longueur du côté \( a \), nous appliquons la loi des cosinus :

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]

\[ a^2 = 4^2 + 8^2 - 2 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \cos(46^\circ) \]

\[ a = \sqrt{16 + 64 - 64 \cos(46^\circ)} \approx 5,963 \]

Ensuite, nous utilisons la loi des sinus pour trouver l'angle \( B \) :

\[ \dfrac{\sin(B)}{b} = \dfrac{\sin(A)}{a} \]

\[ \dfrac{\sin(B)}{4} = \dfrac{\sin(46^\circ)}{5,963} \]

En résolvant pour l'angle \( B \), nous obtenons :

\[ B = \arcsin\left( \dfrac{4 \sin(46^\circ)}{5,963} \right) \approx \mathbf{29^\circ} \text{ (arrondi au degré près)} \]

Notez que :

\[ 15^2 = 12^2 + 9^2 \quad (225 = 144 + 81) \]

Cela signifie que le triangle en question est un triangle rectangle. Le plus grand angle est exactement \( \mathbf{90^\circ} \).

Soit \( A \) l'angle opposé au côté de longueur 9. En utilisant SOH CAH TOA :

\[ \sin(A) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{9}{15} \]

L'angle \( A \) est d'environ \( \mathbf{37^\circ} \) (arrondi au degré près).

Le troisième angle est :

\[ 90^\circ - 37^\circ = \mathbf{53^\circ} \]

Étape 1 : Utilisez l'identité pythagoricienne \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \) pour écrire l'équation entièrement en termes de sinus.

\[ 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) = 1 \]

\[ 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) = 1 \]

Étape 2 : Déplacez tous les termes d'un côté pour former une équation du second degré standard égale à zéro.

\[ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 = 0 \]

Étape 3 : Factorisez l'expression du second degré. Traitez \( \sin(x) \) comme une variable.

\[ (2\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1) = 0 \]

Étape 4 : Résolvez chaque facteur pour \( x \) sur l'intervalle \( [0, 2\pi) \).

Cas 1 : \( 2\sin(x) + 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = -1/2 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6} \]

Cas 2 : \( \sin(x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(x) = 1 \)

\[ \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} \]

Réponse : \( \mathbf{x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{11\pi}{6}} \)

Étape 1 : Combinez les deux fractions en trouvant un dénominateur commun, qui est \( \sin(x)\cos(x) \).

\[ \dfrac{\sin(3x)\cos(x) - \cos(3x)\sin(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Étape 2 : Remarquez que le numérateur est exactement la forme développée de l'identité de différence des sinus : \( \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \).

\[ = \dfrac{\sin(3x - x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

\[ = \dfrac{\sin(2x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Étape 3 : Appliquez l'identité de double angle pour le sinus dans le numérateur : \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \).

\[ = \dfrac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)\cos(x)} \]

Étape 4 : Annulez les termes communs.

Réponse : \( \mathbf{2} \)

Étape 1 : Pour trouver l'aire en utilisant \( \text{Aire} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) \), nous devons d'abord trouver l'angle \( C \). Nous pouvons utiliser la loi des cosinus pour cela.

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]

\[ 8^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos(C) \]

\[ 64 = 25 + 49 - 70\cos(C) \]

\[ 64 = 74 - 70\cos(C) \]

\[ -10 = -70\cos(C) \Rightarrow \cos(C) = \dfrac{1}{7} \]

Étape 2 : Utilisez maintenant l'identité pythagoricienne pour trouver \( \sin(C) \). Puisque \( C \) est un angle dans un triangle, \( \sin(C) \) doit être positif.

\[ \sin(C) = \sqrt{1 - \cos^2(C)} = \sqrt{1 - \left(\dfrac{1}{7}\right)^2} \]

\[ \sin(C) = \sqrt{\dfrac{48}{49}} = \dfrac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \dfrac{4\sqrt{3}}{7} \]

Étape 3 : Calculez l'aire.

\[ \text{Aire} = \dfrac{1}{2}ab\sin(C) = \dfrac{1}{2}(5)(7)\left(\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right) \]

Les 7 s'annulent, et \( \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2 \).

\[ \text{Aire} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = \mathbf{10\sqrt{3}} \]