Maîtriser les vecteurs 3D (R³) : 12 problèmes d'entraînement

Étant donné les points \( A(x_1 , y_1 ,z_1) = A(2,6,7) \) et \( B(x_2 , y_2 ,z_2) = B(0,-3,1) \), nous utilisons la formule des composantes :

\[ \vec{AB} = \langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle = \langle 0-2, -3-6, 1-7 \rangle = \langle -2, -9, -6 \rangle \] \[ \vec{BA} = \langle x_1-x_2, y_1-y_2, z_1-z_2 \rangle = \langle 2-0, 6-(-3), 7-1 \rangle = \langle 2, 9, 6 \rangle \]

Pour montrer la relation :

\[ \vec{AB} = \langle -2, -9, -6 \rangle = -1 \langle 2, 9, 6 \rangle = -1\vec{BA} \]

a) Utilisez la formule de la somme :

\[ \vec{v_1} + \vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle + \langle -3,4,5 \rangle = \langle 0+(-3), -3+4, 2+5 \rangle = \langle -3, 1, 7 \rangle \]

b) Utilisez la formule de la différence :

\[ \vec{v_1} - \vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle - \langle -3,4,5 \rangle = \langle 0-(-3), -3-4, 2-5 \rangle = \langle 3, -7, -3 \rangle \]

c) Utilisez la multiplication scalaire :

\[ -3\vec{v_1} = -3 \langle 0,-3,2 \rangle = \langle -3(0), -3(-3), -3(2) \rangle = \langle 0, 9, -6 \rangle \]

d) Combinaison scalaire et somme :

\[ -2\vec{v_1} + 3\vec{v_2} = -2\langle 0,-3,2 \rangle + 3\langle -3,4,5 \rangle = \langle 0,6,-4 \rangle + \langle -9,12,15 \rangle = \langle -9, 18, 11 \rangle \]

e) Trouvez le vecteur \( \vec{v_1} + k\vec{v_2} \) :

\[ \vec{v_1} + k\vec{v_2} = \langle 0,-3,2 \rangle + k \langle -3,4,5 \rangle = \langle -3k, -3+4k, 2+5k \rangle \]

Trouvez la magnitude et égalisez-la à \( \sqrt{67} \) :

\[ \sqrt{(-3k)^2 + (-3+4k)^2 + (2+5k)^2} = \sqrt{67} \]

Élevez au carré les deux côtés, développez et regroupez :

\[ 9k^2 + (9 - 24k + 16k^2) + (4 + 20k + 25k^2) = 67 \] \[ 50k^2 - 4k + 13 = 67 \implies 50k^2 - 4k - 54 = 0 \]

Résolvez l'équation quadratique pour obtenir : \( k = -1 \) et \( k = 27/25 \).

Le vecteur unitaire \( \vec{u} \) est donné par \( \vec{u} = \dfrac{1}{|| \vec{v} ||} \vec{v} \).

\[ || \vec{v} || = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{13} \] \[ \vec{u} = \dfrac{1}{\sqrt{13}} \langle 0,-3,2 \rangle = \left\langle 0, \dfrac{-3}{\sqrt{13}}, \dfrac{2}{\sqrt{13}} \right\rangle \]

Calculez la magnitude de \( \vec{u} \) pour vérifier :

\[ || \vec{u} || = \sqrt{ 0^2 + \left(\dfrac{-3}{\sqrt{13}}\right)^2 + \left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 } = \sqrt{ \dfrac{9}{13} + \dfrac{4}{13} } = \sqrt{ \dfrac{13}{13} } = 1 \]

Trouvez les composantes en soustrayant les coordonnées initiales des terminales :

\[ \vec{AB} = \langle 0-2, -3-6, 1-7 \rangle = \langle -2, -9, -6 \rangle \] \[ \vec{BC} = \langle 0-0, 3-(-3), 4-1 \rangle = \langle 0, 6, 3 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 0-2, 3-6, 4-7 \rangle = \langle -2, -3, -3 \rangle \]

Maintenant, vérifiez la somme :

\[ \vec{AB} + \vec{BC} = \langle -2, -9, -6 \rangle + \langle 0, 6, 3 \rangle = \langle -2+0, -9+6, -6+3 \rangle = \langle -2, -3, -3 \rangle \]

Ce résultat correspond exactement aux composantes de \( \vec{AC} \).

\[ \vec{AB} = \langle 2-(-1), 4-2, 2-1 \rangle = \langle 3, 2, 1 \rangle \] \[ \vec{BC} = \langle 5-2, 6-4, 3-2 \rangle = \langle 3, 2, 1 \rangle \] \[ \vec{AC} = \langle 5-(-1), 6-2, 3-1 \rangle = \langle 6, 4, 2 \rangle \]

\( \vec{AB} \) et \( \vec{BC} \) ont des composantes égales et sont donc équivalents.

Remarquez la relation avec \( \vec{AC} \) :

\[ \vec{AC} = \langle 6, 4, 2 \rangle = 2 \langle 3, 2, 1 \rangle = 2\vec{BC} \]

Ainsi, \( \vec{AC} \) est un multiple scalaire de \( \vec{BC} \) (et \( \vec{AB} \)), ce qui signifie que les trois vecteurs sont parallèles.

Soit \( \vec{v} = \langle x,y,z \rangle \) et réécrivez l'équation en utilisant les composantes :

\[ \langle -4,0,2 \rangle - 2 \langle x,y,z \rangle = 3 \langle x,y,z \rangle - 3 \langle -1,-4,2 \rangle \]

Multipliez et simplifiez chaque côté :

\[ \langle -4-2x, -2y, 2-2z \rangle = \langle 3x - 3(-1), 3y - 3(-4), 3z - 3(2) \rangle \] \[ \langle -4-2x, -2y, 2-2z \rangle = \langle 3x + 3, 3y + 12, 3z - 6 \rangle \]

Égalisez les composantes correspondantes et résolvez :

• \( -4 - 2x = 3x + 3 \implies -5x = 7 \implies x = -7/5 \)
• \( -2y = 3y + 12 \implies -5y = 12 \implies y = -12/5 \)
• \( 2 - 2z = 3z - 6 \implies -5z = -8 \implies z = 8/5 \)

Vecteur final : \( \vec{v} = \langle -7/5, -12/5, 8/5 \rangle \)

Un vecteur \( \vec{u} \) dans la même direction avec le double de la longueur est simplement le multiple scalaire de \( \vec{v} \) par 2 :

\[ \vec{u} = 2 \vec{v} = 2 \langle -4,2,2 \rangle = \langle -8, 4, 4 \rangle \]

D'abord, trouvez le vecteur unitaire dans la direction opposée de \( \vec{v} \), qui est \( -\dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \).

\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3 \]

Le vecteur unitaire dans la direction opposée est \( -\dfrac{1}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle \).

Pour lui donner une longueur de 5, multipliez par le scalaire 5 :

\[ \vec{u} = 5 \left( -\dfrac{1}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle \right) = -\dfrac{5}{3} \langle -1, 2, 2 \rangle = \left\langle \dfrac{5}{3}, -\dfrac{10}{3}, -\dfrac{10}{3} \right\rangle \]

Nous utilisons la propriété de magnitude scalaire : \( ||k \vec{v} || = |k| \cdot || \vec{v} || \).

D'abord, trouvez la magnitude de \( \vec{v} \) :

\[ || \vec{v} || = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3 \]

Substituez ceci dans l'équation :

\[ 3|k| = \dfrac{1}{5} \implies |k| = \dfrac{1}{15} \]

Cela donne deux solutions possibles pour \( k \) :

\[ k = \dfrac{1}{15} \quad \text{et} \quad k = -\dfrac{1}{15} \]

Les vecteurs sont parallèles si l'un est un multiple scalaire de l'autre : \( \vec{v_1} = k \vec{v_2} \).

\[ \langle -4,6,2 \rangle = k \langle 2,b,c \rangle = \langle 2k, kb, kc \rangle \]

Établissez des équations pour chaque composante :

• \( -4 = 2k \implies k = -2 \)
• \( 6 = kb \implies 6 = -2b \implies b = -3 \)
• \( 2 = kc \implies 2 = -2c \implies c = -1 \)

Résultat : \( b = -3 \) et \( c = -1 \).

Pour que les points A, B et C soient colinéaires, les vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \) doivent être parallèles (ce qui signifie \( \vec{AC} = k \vec{AB} \)).

\[ \vec{AC} = \langle 0-2, 2-6, 3-7 \rangle = \langle -2, -4, -4 \rangle \] \[ \vec{AB} = \langle 1-2, 4-6, 5-7 \rangle = \langle -1, -2, -2 \rangle \]

Vérifiez s'il existe un multiplicateur scalaire :

\[ \langle -2, -4, -4 \rangle = 2 \langle -1, -2, -2 \rangle \]

Puisque \( \vec{AC} = 2 \vec{AB} \), les vecteurs sont parallèles et partagent le point A. Par conséquent, les points sont colinéaires.

a) D'abord, définissez les coordonnées des sommets basés sur une longueur de côté de 2 et A à l'origine :

A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), E(0,0,2), F(2,0,2), G(2,2,2), H(0,2,2).

• \( \vec{AB} = \langle 2-0, 0-0, 0-0 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{EF} = \langle 2-0, 0-0, 2-2 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{DC} = \langle 2-0, 2-2, 0-0 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{HG} = \langle 2-0, 2-2, 2-2 \rangle = \langle 2,0,0 \rangle \)
• \( \vec{AC} = \langle 2-0, 2-0, 0-0 \rangle = \langle 2,2,0 \rangle \)
• \( \vec{AG} = \langle 2-0, 2-0, 2-0 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

b) Les vecteurs \( \vec{AB} \), \( \vec{EF} \), \( \vec{DC} \), et \( \vec{HG} \) ont des composantes égales \( \langle 2,0,0 \rangle \) et sont donc équivalents.

c) Calculez les côtés gauche et droit algébriquement :

Côté gauche : \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \langle 2,0,0 \rangle + \langle 0,0,2 \rangle + \langle 0,2,0 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

Côté droit : \( \vec{AC} + \vec{CG} = \langle 2,2,0 \rangle + \langle 0,0,2 \rangle = \langle 2,2,2 \rangle \)

Ainsi, \( \vec{AB} + \vec{BF} + \vec{FG} = \vec{AC} + \vec{CG} \).

d) Trouvez la magnitude de \( \vec{AG} \) :

\[ || \vec{AG} || = \sqrt{2^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \]

e) Le vecteur unitaire dans la direction de \( \vec{AG} \) :

\[ \dfrac{1}{|| \vec{AG} ||} \vec{AG} = \dfrac{1}{2\sqrt{3}} \langle 2,2,2 \rangle = \left\langle \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}}, \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\rangle \]