Vecteurs 3D (R³) : Guide complet et opérations
Maîtriser les vecteurs dans l'espace de coordonnées 3D
Les vecteurs 3D sont introduits ainsi que les opérations fondamentales telles que la somme, la différence et la multiplication scalaire. Des propriétés telles que la magnitude et les vecteurs unitaires sont également expliquées. Après avoir révisé la leçon, vous pouvez tester vos connaissances avec nos questions d'entraînement et solutions détaillées.
Qu'est-ce qu'un vecteur ?
Un vecteur est une grandeur qui possède à la fois une magnitude et une direction. Il est représenté géométriquement par un segment de droite dont la longueur est la magnitude et par une flèche qui indique sa direction, comme illustré dans la figure ci-dessous. Les vecteurs sont utilisés en physique pour modéliser des grandeurs avec des tailles et des directions, telles que les vitesses, les forces, les accélérations ; en ingénierie, chimie, infographie, robotique et dans de nombreux autres domaines.
Dans la figure ci-dessus, le vecteur est défini en utilisant un point initial A et un point terminal B. Par conséquent, le vecteur peut être noté \( \vec{AB} \).
Vecteurs équivalents
Les vecteurs ayant des magnitudes égales et la même direction sont des vecteurs équivalents, indépendamment de leur position dans l'espace.
Opérations géométriques sur les vecteurs
Somme de deux vecteurs
Étant donné deux vecteurs \( \vec{v_1} \) et \( \vec{v_2} \), leur somme est un vecteur obtenu en positionnant d'abord le vecteur \( \vec{v_2} \) de telle sorte que son point initial coïncide avec le point terminal de \( \vec{v_1} \). La somme \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \) est le vecteur dont le point initial est le point initial de \( \vec{v_1} \) et le point terminal est le point terminal de \( \vec{v_2} \).
Notez que \( \vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_2} + \vec{v_1} \). De plus, la somme de deux vecteurs coïncide avec la diagonale du parallélogramme déterminé par \( \vec{v_1} \) et \( \vec{v_2} \).
Différence de deux vecteurs
Étant donné deux vecteurs \( \vec{v_1} \) et \( \vec{v_2} \), la différence \( \vec{v_2} - \vec{v_1} \) peut être définie comme une somme \( \vec{v_2} + (- \vec{v_1}) \) et représentée géométriquement comme illustré ci-dessous.
Multiplication d'un vecteur par un scalaire
Un vecteur \( \vec{v_1} \) multiplié par un scalaire \( k \) est défini comme un vecteur \( k\vec{v_1} \) parallèle à \( \vec{v_1} \) et dont la direction est la même que celle de \( \vec{v_1} \) si \( k \gt 0 \) et opposée si \( k \lt 0 \). La magnitude (longueur) de \( k\vec{v_1} \) est \( | k | \) fois la magnitude de \( \vec{v_1} \).
La figure ci-dessous montre les vecteurs \( \vec{v_1} \), \( 2\vec{v_1} \) et \( -3 \vec{v_1} \).
Vecteurs dans un système de coordonnées rectangulaires 3D
Un vecteur unitaire est un vecteur ayant une magnitude égale à 1. Ci-dessous est illustré un système de coordonnées rectangulaires 3D avec les vecteurs unitaires \(\vec{i} \), \(\vec{j} \), et \(\vec{k} \) dans la direction positive des axes x, y et z respectivement. Les vecteurs \(\vec{i} \), \(\vec{j} \), et \(\vec{k} \) peuvent être définis par leurs composantes comme suit :
- \(\vec{i} = \langle 1 , 0 , 0 \rangle\), une unité le long de l'axe x.
- \(\vec{j} = \langle 0 , 1 , 0 \rangle\), une unité le long de l'axe y.
- \(\vec{k} = \langle 0 , 0 , 1 \rangle\), une unité le long de l'axe z.
Composantes d'un vecteur
Les composantes de tout vecteur \(\vec{v} \) sont définies en exprimant \(\vec{v} \) comme une somme de multiples des vecteurs unitaires \(\vec{i} \), \(\vec{j} \), et \(\vec{k} \) comme suit :
\[ \vec{v} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 5\vec{k} \]Ou sous forme de composantes en utilisant des crochets angulaires comme suit :
\[ \vec{v} = \langle 3, 4, 5 \rangle \]
Les composantes d'un vecteur \(\vec{v} \) défini par son point initial \( A = (x_1 , y_1 , z_1) \) et son point terminal \( B = (x_2 , y_2 , z_2) \) sont données par :
\[ \vec{v} = \langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle \]
Calcul de la magnitude et des vecteurs unitaires
Étant donné un vecteur \( \vec{v} = \langle a, b, c \rangle \), sa magnitude (ou longueur) est donnée par :
\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \]Le vecteur unitaire \( \vec{u} \), défini comme un vecteur de magnitude égale à 1, dans la même direction que \( \vec{v} \) est donné par :
\[ \vec{u} = \dfrac{1}{||\vec{v}||} \vec{v} \]Somme, différence et multiplication scalaire algébriques
Étant donné les vecteurs \( \vec{v_1} = \langle a_1, b_1, c_1 \rangle \) et \( \vec{v_2} = \langle a_2, b_2, c_2 \rangle \), la somme \( \vec{v_1} + \vec{v_2} \), la différence \( \vec{v_1} - \vec{v_2} \), et la multiplication scalaire \( k \vec{v_1} \) (où k est un nombre réel) sont données par :
Prêt à tester vos connaissances ?
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Accéder aux problèmes d'entraînement sur les vecteurs 3D