Problèmes de géométrie avec solutions pour la 12e année

Le triangle $ABC$ a deux côtés de longueur égale et est donc un triangle isocèle avec la base $AC$. La mesure de l'angle $\angle BAC$ est donnée par :

$$ \angle BAC = \dfrac{180^\circ - 36^\circ}{2} = 72^\circ $$

L'angle $\angle BOC$ est un angle au centre et $\angle BAC$ est un angle inscrit, et les deux angles interceptent le même arc $BC$. Selon le théorème de l'angle inscrit :

$$ \text{Mesure de } \angle BOC = 2 \times \text{Mesure de } \angle BAC = 2 \times 72^\circ = \mathbf{144^\circ} $$

Soient $R_1, R_2$ et $R_3$ les rayons des cercles $C_1, C_2$ et $C_3$ avec $R_1 = R_2 = R$.

Soit $C_3O$ la distance verticale du centre de $C_3$ au segment de droite horizontal reliant les centres $C_1$ et $C_2$. Par conséquent : $$ h = C_3O + R \quad (I) $$

Appliquez le théorème de Pythagore au triangle rectangle $C_3 O C_1$ : $$ C_3O^2 + \left(\dfrac{x}{2}\right)^2 = (R + R_3)^2 $$

En résolvant pour $C_3O$ : $$ C_3O = \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} $$

En utilisant l'équation (I), nous substituons $C_3O$ pour obtenir la hauteur finale $h$ : $$ \mathbf{h = R + \sqrt{(R + R_3)^2 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2}} $$

Soient $r, R_2$ et $R_3$ les rayons des cercles $C_1, C_2$ et $C_3$ respectivement, avec $R_2 = R_3 = R$. Notez que $r = 10$ cm.

Appliquez le théorème de Pythagore au triangle rectangle $M C_1 C_3$ : $$ C_1C_3^2 = MC_3^2 + MC_1^2 \quad (I) $$

D'après la géométrie de la figure, nous pouvons substituer les longueurs des côtés par leurs rayons équivalents : $C_1C_3 = r + R$ $MC_3 = R$ $MC_1 = R - r$

Substituez cela dans l'équation (I) : $$ (r + R)^2 = R^2 + (R - r)^2 $$

Développez et simplifiez l'équation : $$ r^2 + 2rR + R^2 = R^2 + R^2 - 2rR + r^2 $$ $$ 2rR = R^2 - 2rR $$ $$ 4rR = R^2 $$

Puisque $R > 0$, divisez les deux côtés par $R$ : $$ R = 4r $$

Substituez $r = 10$ cm : $$ \mathbf{R = 4(10) = 40 \text{ cm}} $$

Les angles $\angle BtA$ et $\angle CtD$ sont des angles opposés par le sommet, et donc : $$ \angle BtA = 90^\circ $$

Puisque $\angle BtA = 90^\circ$ et qu'il s'agit d'un angle inscrit, $AB$ doit être le diamètre du cercle (par la réciproque du théorème de Thalès).

Puisque $CD$ est parallèle à $AB$, le triangle $BtA$ et le triangle $CtD$ sont des triangles semblables. La proportionnalité de leurs hauteurs et bases correspondantes donne : $$ \dfrac{3}{5} = \dfrac{AB}{x} $$

Résolvez pour le diamètre $AB$ : $$ AB = \dfrac{3x}{5} $$

Le rayon est la moitié du diamètre : $$ \text{Rayon} = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{3x}{10} $$

Enfin, calculez l'aire du cercle : $$ \text{Aire} = \pi \times \text{Rayon}^2 = \pi \left(\dfrac{3x}{10}\right)^2 = \mathbf{0,09\pi x^2} $$

Divisons le grand carré en quatre petits carrés en traçant des lignes horizontales et verticales passant par le centre.

Considérons un petit carré (par exemple, celui en bas à gauche). Ce carré a une longueur de côté de $2x$ (la moitié de $4x$). Une partie de ce carré est ombrée, tandis que l'autre partie est blanche (non ombrée). La partie ombrée est délimitée par un quart de cercle. Concentrons-nous d'abord sur la partie blanche.

L'aire du coin non ombré (blanc) dans un petit carré est l'aire du petit carré moins l'aire du quart de cercle : $$ \text{Aire d'une région blanche} = (2x)^2 - \dfrac{1}{4}\pi(2x)^2 = 4x^2 - \pi x^2 $$

En regardant l'ensemble du grand carré, il y a 8 régions blanches identiques (2 dans chacun des 4 petits carrés).

L'aire $A$ de la partie ombrée dans toute la forme est l'aire totale du grand carré moins les 8 zones non ombrées : $$ A = (4x)^2 - 8 \left[ (2x)^2 - \dfrac{1}{4}\pi(2x)^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 8 \left[ 4x^2 - \pi x^2 \right] $$ $$ A = 16x^2 - 32x^2 + 8\pi x^2 $$ $$ A = 8\pi x^2 - 16x^2 $$ $$ \mathbf{A = 16x^2 \left( \dfrac{\pi}{2} - 1 \right)} $$

Tracez un rayon jusqu'au point de tangence (ce qui crée un angle droit) et un rayon jusqu'à l'extrémité de la corde. Cela forme un triangle rectangle.

Le triangle rectangle a une hypoténuse de longueur $R$, une cathète de longueur $r$, et la deuxième cathète est exactement la moitié de la longueur de la corde ($20 / 2 = 10$ mm). Utilisez le théorème de Pythagore :

$$ R^2 = r^2 + 10^2 \quad (I) $$ $$ R^2 - r^2 = 100 $$

L'aire $A$ de l'anneau se trouve en soustrayant l'aire du petit cercle de celle du grand cercle : $$ A = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2) \quad (II) $$

Substituez $R^2 - r^2 = 100$ dans la formule de l'aire : $$ \mathbf{A = 100\pi \text{ mm}^2} $$

L'aire d'un parallélogramme peut être calculée en utilisant la magnitude du produit vectoriel des vecteurs $\mathbf{AB}$ et $\mathbf{AD}$ :

$$ \text{Aire} = | \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} | $$

Tout d'abord, calculez les vecteurs à partir des points donnés $A(-2, -2), B(2, b), D(4, 2)$ : $$ \mathbf{AB} = \langle 2 - (-2), b - (-2), 0 \rangle = \langle 4, b + 2, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{AD} = \langle 4 - (-2), 2 - (-2), 0 \rangle = \langle 6, 4, 0 \rangle $$

Calculez la forme déterminante du produit vectoriel : $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & b+2 & 0 \\ 6 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{k}((4)(4) - (6)(b+2)) $$ $$ \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} = (16 - 6b - 12)\mathbf{k} = (4 - 6b)\mathbf{k} $$

En prenant la magnitude et en l'égalant à 80 : $$ |4 - 6b| = 80 $$ $$ 4 - 6b = 80 \quad \text{ou} \quad 4 - 6b = -80 $$ $$ -6b = 76 \implies b = -\dfrac{38}{3} $$ $$ -6b = -84 \implies b = 14 $$

Puisque le point $B(2, b)$ est clairement dans le premier quadrant sur le graphique, nous choisissons $b = 14$.

Puisque $ABCD$ est un parallélogramme, les vecteurs opposés sont égaux : $\mathbf{AB} = \mathbf{DC}$. $$ \mathbf{AB} = \langle 4, 14 + 2, 0 \rangle = \langle 4, 16, 0 \rangle $$ $$ \mathbf{DC} = \langle c - 4, d - 2, 0 \rangle $$

En égalant les composantes correspondantes : $c - 4 = 4 \implies c = 8$ $d - 2 = 16 \implies d = 18$

Conclusion : $$ \mathbf{b = 14, \; c = 8, \; d = 18} $$

Il y a 3 triangles rectangles. Utilisez le théorème de Pythagore pour écrire une équation pour chacun :

$$ y^2 + z^2 = 12^2 \quad (I) $$ $$ x^2 + z^2 = 9^2 \quad (II) $$ $$ (x + y)^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225 \quad (III) $$

Résolvez l'équation (III) en extrayant la racine carrée (puisque les longueurs doivent être positives) : $$ x + y = 15 $$

Soustrayez l'équation (II) de l'équation (I) pour éliminer $z^2$ : $$ (y^2 + z^2) - (x^2 + z^2) = 144 - 81 $$ $$ y^2 - x^2 = 63 $$

Factorisez la différence de carrés : $$ (y - x)(y + x) = 63 $$

Substituez $x + y = 15$ dans l'équation factorisée : $$ (y - x)(15) = 63 \implies y - x = \dfrac{63}{15} = \dfrac{21}{5} $$

Maintenant, résolvez le système d'équations linéaires : $$ y + x = 15 = \dfrac{75}{5} $$ $$ y - x = \dfrac{21}{5} $$ En les additionnant : $2y = \dfrac{96}{5} \implies \mathbf{y = \dfrac{48}{5}}$. En les soustrayant : $2x = \dfrac{54}{5} \implies \mathbf{x = \dfrac{27}{5}}$.

Utilisez l'équation (I) pour trouver $z$ : $$ \left(\dfrac{48}{5}\right)^2 + z^2 = 144 \implies z^2 = 144 - \dfrac{2304}{25} = \dfrac{3600 - 2304}{25} = \dfrac{1296}{25} $$ $$ \mathbf{z = \dfrac{36}{5}} $$

Divisez le rectangle en 4 petits rectangles en traçant des lignes verticales et horizontales passant par le point intérieur.

Appliquez le théorème de Pythagore aux quatre triangles rectangles formés aux coins (soient les cathètes $a, b, c, d$ comme indiqué dans le diagramme) :

$$ a^2 + c^2 = 4^2 \quad (I) \text{ (Haut-gauche)} $$ $$ b^2 + c^2 = x^2 \quad (II) \text{ (Bas-gauche)} $$ $$ b^2 + d^2 = 5^2 \quad (III) \text{ (Bas-droite)} $$ $$ a^2 + d^2 = 6^2 \quad (IV) \text{ (Haut-droite)} $$

Soustrayez l'équation (II) de (I) : $$ a^2 - b^2 = 4^2 - x^2 $$

Soustrayez l'équation (III) de (IV) : $$ a^2 - b^2 = 6^2 - 5^2 $$

Égalisez les deux expressions de $(a^2 - b^2)$ : $$ 4^2 - x^2 = 6^2 - 5^2 $$ $$ 16 - x^2 = 36 - 25 $$ $$ 16 - x^2 = 11 $$ $$ x^2 = 5 $$ $$ \mathbf{x = \sqrt{5}} $$

En raison de la symétrie, la région ombrée peut être divisée en deux moitiés égales, gauche et droite. Calculons l'aire de la moitié gauche.

La moitié gauche de la région ombrée est l'aire du secteur circulaire $BOC$ moins l'aire du triangle $BOC$. Puisque la distance entre les centres est de $6$, la longueur de $OM$ (la moitié de la distance) est de $3$.

Le triangle $BOM$ est un triangle rectangle, nous pouvons donc trouver l'angle $BOM$ : $$ \cos(\angle BOM) = \dfrac{OM}{OB} = \dfrac{3}{4} $$ $$ \angle BOM = \arccos(0,75) $$

L'angle au centre total $BOC$ est le double de $\angle BOM$. Par conséquent :

1. Aire du secteur $BOC = \dfrac{1}{2} (2 \angle BOM) r^2$ (en radians)

2. Aire du triangle $BOC = \dfrac{1}{2} \sin(2 \angle BOM) r^2$

L'aire totale ombrée est le double de la moitié gauche : $$ \text{Aire totale} = 2 \left[ \dfrac{1}{2}(2 \angle BOM)r^2 - \dfrac{1}{2}\sin(2 \angle BOM)r^2 \right] $$ $$ \text{Aire totale} = r^2 \left( 2 \angle BOM - \sin(2 \angle BOM) \right) $$

Substituez $r = 4$ et $\angle BOM = \arccos(0,75)$ : $$ \text{Aire totale} = 4^2 \left( 2\arccos(0,75) - \sin(2\arccos(0,75)) \right) $$ $$ \text{Aire totale} = 16 \left( 1,445 - 0,992 \right) \approx \mathbf{7,25 \text{ unités carrées}} $$

1. Identifier le théorème :
Ce problème nécessite le théorème des cordes sécantes. Il stipule que lorsque deux cordes se coupent à l'intérieur d'un cercle, le produit des segments d'une corde est égal au produit des segments de l'autre corde.

2. Établir l'équation :
$$ AP \times PB = CP \times PD $$

3. Substituer et résoudre :
$$ 4 \times 6 = 3 \times PD $$ $$ 24 = 3 \times PD $$ $$ \mathbf{PD = 8} $$

1. Décomposer l'hexagone :
Un hexagone régulier inscrit dans un cercle peut être divisé en 6 triangles équilatéraux identiques en traçant des lignes du centre du cercle vers les 6 sommets. Parce qu'il s'agit d'un hexagone régulier, la longueur du côté de l'hexagone est exactement égale au rayon du cercle circonscrit ($s = R = 10$).

2. Aire d'un triangle équilatéral :
La formule de l'aire d'un triangle équilatéral de côté $s$ est : $$ A_{\text{triangle}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2 $$ Substituez $s = 10$ : $$ A_{\text{triangle}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}(100) = 25\sqrt{3} $$

3. Aire totale :
Multipliez par les 6 triangles qui composent l'hexagone : $$ A_{\text{total}} = 6 \times 25\sqrt{3} = \mathbf{150\sqrt{3}} $$

1. Identifier le théorème :
Pour trouver la longueur d'une médiane connaissant les trois côtés d'un triangle, nous utilisons le théorème d'Apollonius, qui relie la longueur d'une médiane à la longueur de ses côtés : $$ AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2) $$

2. Déterminer les segments :
Puisque $AM$ est une médiane, $M$ coupe $BC$ parfaitement en deux. $$ BM = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{9}{2} = 4,5 $$

3. Substituer et résoudre :
$$ 7^2 + 8^2 = 2\left(AM^2 + 4,5^2\right) $$ $$ 49 + 64 = 2(AM^2 + 20,25) $$ $$ 113 = 2AM^2 + 40,5 $$ $$ 72,5 = 2AM^2 $$ $$ AM^2 = 36,25 = \dfrac{145}{4} $$ $$ \mathbf{AM = \dfrac{\sqrt{145}}{2}} \approx 6,02 $$