Résoudre des équations exponentielles

Remarquez que 27, 9 et 3 peuvent être écrits comme des puissances de 3 comme suit :

$$ 27 = 3^3, \quad 9 = 3^2, \quad \text{et} \quad 3 = 3^1 $$

En utilisant ce qui précède et la formule pour les exposants négatifs $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$, nous réécrivons l'équation donnée :

$$ (3^3)^{2x} \cdot (3^{-2})^{x - 2} = (3^2)^{-x} \cdot (3^{-1})^{2 - x} $$

Nous utilisons maintenant la formule $(x^m)^n = x^{mn}$ :

$$ 3^{6x} \cdot 3^{-2x + 4} = 3^{-2x} \cdot 3^{-2 + x} $$

Utilisez la formule $x^m \cdot x^n = x^{m + n}$ pour combiner les exposants de chaque côté :

$$ 3^{6x - 2x + 4} = 3^{-2x - 2 + x} $$

Simplifiez les exposants pour obtenir :

$$ 3^{4x + 4} = 3^{-x - 2} $$

Nous utilisons le fait qu'une fonction exponentielle est une fonction injective (bijective). Si $3^m = 3^n$, alors $m = n$. Nous pouvons égaler les exposants :

$$ 4x + 4 = -x - 2 $$

Résolvez ce qui précède pour $x$ :

$$ 5x = -6 \implies x = \dfrac{-6}{5} = -1,2 $$

Ci-dessous est présenté le graphique du côté gauche de l'équation donnée lorsque le côté droit est égal à zéro. L'abscisse à l'origine est une approximation de la solution analytique.

Remarquez que $\sqrt{16^x} = (16^x)^{1/2} = 16^{(1/2)x}$ et utilisez-le pour réécrire l'équation donnée :

$$ 16^{(1/2)x} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 1} $$

Remarquez que $\dfrac{1}{2} = 2^{-1}$ et $16 = 2^4$. Utilisez-les pour réécrire l'équation en base 2 :

$$ (2^4)^{(1/2)x} = (2^{-1})^{x^2 - 1} $$

Utilisez la formule $(x^m)^n = x^{mn}$ pour simplifier :

$$ 2^{2x} = 2^{-x^2 + 1} $$

Parce que les bases sont identiques, nous pouvons égaler les exposants :

$$ 2x = -x^2 + 1 $$

Réécrivez sous la forme quadratique standard et résolvez :

$$ x^2 + 2x - 1 = 0 $$

En utilisant la formule quadratique, $\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 8$. Cela donne deux solutions :

$$ x_1 = -1 - \sqrt{2} \approx -2,41 \quad \text{et} \quad x_2 = -1 + \sqrt{2} \approx 0,41 $$

Soit $u = 2^x$. Cela signifie que $2^{-x} = \dfrac{1}{2^x} = \dfrac{1}{u}$. Réécrivez l'équation en fonction de $u$ :

$$ u - \dfrac{6}{u} = 6 $$

$u$ ne peut pas être zéro (parce que $2^x > 0$). Multipliez tous les termes par $u$ et simplifiez :

$$ u \left( u - \dfrac{6}{u} \right) = 6u $$ $$ u^2 - 6 = 6u $$ $$ u^2 - 6u - 6 = 0 $$

Résolvez l'équation quadratique pour $u$ en utilisant la formule quadratique :

$$ u_1 = 3 + \sqrt{15} \quad \text{et} \quad u_2 = 3 - \sqrt{15} $$

Nous résolvons maintenant pour $x$ en utilisant la substitution $u = 2^x$.

Première équation : $2^x = 3 + \sqrt{15}$

$$ \ln(2^x) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x \ln(2) = \ln(3 + \sqrt{15}) $$ $$ x = \dfrac{\ln(3 + \sqrt{15})}{\ln 2} \approx 2,78 $$

Deuxième équation : $2^x = 3 - \sqrt{15}$. Cela n'a pas de solution car $3 - \sqrt{15}$ est un nombre négatif, et $2^x$ doit être strictement positif.

Prenez le logarithme népérien ($\ln$) des deux côtés de l'équation donnée :

$$ \ln(5^{x + 1}) = \ln(100 \cdot 3^x) $$

Utilisez les règles des logarithmes pour simplifier et descendre les exposants :

$$ (x + 1) \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$

Développez le côté gauche et regroupez tous les termes contenant $x$ d'un côté :

$$ x \ln 5 + \ln 5 = \ln 100 + x \ln 3 $$ $$ x \ln 5 - x \ln 3 = \ln 100 - \ln 5 $$

Factorisez $x$ et résolvez :

$$ x (\ln 5 - \ln 3) = \ln 100 - \ln 5 $$ $$ x = \dfrac{\ln 100 - \ln 5}{\ln 5 - \ln 3} \approx 5,86 $$

Soit $u = e^x$, ce qui donne $e^{-x} = \dfrac{1}{u}$. Substituez cela dans l'équation :

$$ \dfrac{u - \dfrac{1}{u}}{2} = 3 $$

Multipliez les deux côtés par 2 et simplifiez :

$$ u - \dfrac{1}{u} = 6 $$

Multipliez toute l'équation par $u$ pour éliminer la fraction :

$$ u^2 - 1 = 6u \implies u^2 - 6u - 1 = 0 $$

Résolvez pour $u$ en utilisant la formule quadratique :

$$ u_1 = 3 + \sqrt{10} \quad \text{et} \quad u_2 = 3 - \sqrt{10} $$

Maintenant, substituez de nouveau $u = e^x$.

Première équation : $e^x = 3 + \sqrt{10}$

$$ \ln(e^x) = \ln(3 + \sqrt{10}) \implies x = \ln(3 + \sqrt{10}) \approx 1,82 $$

Deuxième équation : $e^x = 3 - \sqrt{10}$. Cela n'a pas de solution puisque $3 - \sqrt{10} < 0$.

Prenez le logarithme népérien ($\ln$) des deux côtés :

$$ \ln(3^{2 - 3x}) = \ln(4^{2x + 1}) $$

Utilisez les règles des logarithmes pour ramener les exposants devant :

$$ (2 - 3x)\ln 3 = (2x + 1)\ln 4 $$

Développez les deux côtés de l'équation et regroupez les termes avec $x$ :

$$ 2\ln 3 - 3x\ln 3 = 2x\ln 4 + \ln 4 $$ $$ 2\ln 3 - \ln 4 = 3x\ln 3 + 2x\ln 4 $$ $$ x(3\ln 3 + 2\ln 4) = 2\ln 3 - \ln 4 $$ $$ x = \dfrac{2\ln 3 - \ln 4}{3\ln 3 + 2\ln 4} \approx 0,13 $$

Remarquez que $9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2$. Réécrivez l'équation donnée en utilisant ceci et développez $3^{x+1}$ en $3 \cdot 3^x$ :

$$ (3^x)^2 - 3 \cdot 3^x + 2 = 0 $$

Soit $u = 3^x$ et réécrivez l'équation sous forme quadratique standard en $u$ :

$$ u^2 - 3u + 2 = 0 $$

Résolvez pour $u$ par factorisation :

$$ (u - 2)(u - 1) = 0 $$

Cela donne deux solutions pour $u$ : $u_1 = 2$ et $u_2 = 1$. Maintenant, substituez de nouveau $3^x$.

Première équation : $3^x = 2$

$$ \ln(3^x) = \ln 2 \implies x \ln 3 = \ln 2 \implies x = \dfrac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0,63 $$

Deuxième équation : $3^x = 1$. Le seul exposant qui donne 1 est 0, donc $x = 0$.

1. Standardisez la base :
Exprimez $4^x$ comme $(2^2)^x = (2^x)^2$. Développez $2^{x+2}$ en utilisant les règles des exposants : $2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$.

$$ (2^x)^2 - 4(2^x) - 32 = 0 $$

2. Substituez :
Soit $u = 2^x$. L'équation devient une quadratique directe :

$$ u^2 - 4u - 32 = 0 $$

3. Factorisez et résolvez pour $u$ :
Nous avons besoin de deux nombres dont le produit est $-32$ et la somme est $-4$. Ce sont $-8$ et $+4$.

$$ (u - 8)(u + 4) = 0 $$

Cela nous donne $u = 8$ ou $u = -4$.

4. Résolvez pour $x$ :
Substituez de nouveau $2^x$ pour $u$.

• Cas 1 : $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies \mathbf{x = 3}$
• Cas 2 : $2^x = -4$. Cela n'a aucune solution car $2^x$ doit être strictement positif.

La seule solution est $\mathbf{x = 3}$.

Pour une équation de la forme $A^B = 1$, il existe trois conditions mathématiques distinctes sous lesquelles cela est vrai. Nous utiliserons un tableau pour vérifier systématiquement les trois cas.

Condition pour $A^B = 1$	Application à $x^{x^2 - 5x + 6} = 1$
Cas 1 : La base est 1 ($A = 1$, $B$ peut être n'importe quoi)	Égalisez la base à 1 : $x = 1$. (Vérification : $1^{(1-5+6)} = 1^2 = 1$. Valide.) Solution : $x = 1$
Cas 2 : L'exposant est 0 ($B = 0$, $A \neq 0$)	Égalisez l'exposant à 0 : $x^2 - 5x + 6 = 0$ $(x - 2)(x - 3) = 0 \implies x = 2, x = 3$. (Vérification des bases : Aucune base n'est 0. Valide.) Solutions : $x = 2, x = 3$
Cas 3 : La base est -1 ($A = -1$, et $B$ doit être un entier pair)	Égalisez la base à -1 : $x = -1$. Vérifiez maintenant si l'exposant est pair lorsque $x = -1$ : $B = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12$. Puisque 12 est pair, $(-1)^{12} = 1$. Valide. Solution : $x = -1$

Ensemble de solutions final :
L'ensemble complet des solutions réelles est $\mathbf{x \in \{-1, 1, 2, 3\}}$.

1. Combinez le côté gauche :
Puisque 2 et 5 sont tous deux élevés exactement au même exposant, nous pouvons utiliser la règle $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ pour les combiner :

$$ (2 \cdot 5)^{3x} = 10000^{x-1} $$ $$ 10^{3x} = 10000^{x-1} $$

2. Créez une base commune :
Reconnaissez que 10000 est une puissance de 10. Plus précisément, $10000 = 10^4$. Substituez ceci dans le côté droit :

$$ 10^{3x} = (10^4)^{x-1} $$

3. Distribuez l'exposant :
Utilisez la règle de la puissance $(x^m)^n = x^{mn}$ :

$$ 10^{3x} = 10^{4(x-1)} $$ $$ 10^{3x} = 10^{4x - 4} $$

4. Égalisez et résolvez :
Parce que les bases sont égales, les exposants doivent être égaux :

$$ 3x = 4x - 4 $$ $$ 3x - 4x = -4 $$ $$ -x = -4 \implies \mathbf{x = 4} $$