Résoudre des équations logarithmiques avec solutions pour la 12e année

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition.
Les arguments des logarithmes doivent être positifs :
$2x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1,5$
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$
Par conséquent, le domaine de définition pour cette équation est $1,5 < x < 3$.

Étape 2 : Réécrire l'équation avec les termes logarithmiques d'un côté :
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = -2 $$

Étape 3 : Réécrire en substituant $-2$ par $\log 10^{-2}$ :
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = \log 10^{-2} $$

Étape 4 : Utiliser la règle du quotient $\log A - \log B = \log\left(\dfrac{A}{B}\right)$ :
$$ \log\left( \dfrac{2x - 3}{3 - x}\right) = \log 10^{-2} $$

Étape 5 : La fonction $\log(x)$ est injective, nous en déduisons donc :
$$ \dfrac{2x - 3}{3 - x} = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} $$

Étape 6 : Résoudre pour $x$ :
$$ 100(2x - 3) = 3 - x $$
$$ 200x - 300 = 3 - x $$
$$ 201x = 303 \Rightarrow x = \dfrac{303}{201} = \dfrac{101}{67} $$

Étape 7 : Vérifier par rapport au domaine de définition.
$\dfrac{101}{67} \approx 1,507$. Comme $1,507$ est compris entre $1,5$ et $3$, la solution est valide.
Réponse finale : $x = \dfrac{101}{67}$

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition.
$x > 0$
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ ou $x < -1$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
L'intersection de ces conditions est $x > 1$. Le domaine est $(1, \infty)$.

Étape 2 : Utiliser les règles des logarithmes pour réécrire les deux côtés (règle du quotient à gauche, règle de la puissance à droite) :
$$ \log \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = \log \left((x - 1)^{-2}\right) $$

Étape 3 : Supprimer les logarithmes (propriété d'injectivité) :
$$ \dfrac{x}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{(x - 1)^2} $$

Étape 4 : Comme $x > 1$, $x - 1 \neq 0$. Multiplier les deux côtés par $(x - 1)^2(x + 1)$ pour éliminer les dénominateurs :
$$ x(x - 1) = x + 1 $$

Étape 5 : Résoudre l'équation quadratique :
$$ x^2 - x = x + 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 $$
Solutions : $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2,41$ et $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0,41$

Étape 6 : Vérifier par rapport au domaine de définition.
$x_2 = 1 - \sqrt{2}$ n'est pas supérieur à $1$, donc elle est rejetée (étrangère).
Réponse finale : $x = 1 + \sqrt{2}$

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition.
$2x - 9 > 0 \Rightarrow x > 4,5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
L'intersection est $x > 4,5$. Le domaine est $(4,5, \infty)$.

Étape 2 : Regrouper les logarithmes d'un côté et substituer $2$ par $\log_2 4$ :
$$ \log_2(2x - 9) + \log_2(x - 1) = \log_2 4 $$

Étape 3 : Appliquer la règle du produit :
$$ \log_2\left( (2x - 9)(x - 1) \right) = \log_2 4 $$

Étape 4 : Égaler les arguments et développer :
$$ (2x - 9)(x - 1) = 4 $$
$$ 2x^2 - 11x + 9 = 4 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 5 = 0 $$

Étape 5 : Résoudre l'équation quadratique par factorisation :
$$ (2x - 1)(x - 5) = 0 $$
Solutions : $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 5$.

Étape 6 : Vérifier par rapport au domaine de définition.
$x = \dfrac{1}{2}$ est inférieur à $4,5$, elle est donc étrangère. Seul $x = 5$ appartient au domaine.
Réponse finale : $x = 5$

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition.
$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
L'intersection est $x > -1$. Le domaine est $(-1, \infty)$.

Étape 2 : Utiliser la règle de la puissance des deux côtés :
$$ \ln(x + 3)^2 - \ln(x + 1) = \ln(2^3) $$

Étape 3 : Utiliser la règle du quotient :
$$ \ln \left( \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} \right) = \ln 8 $$

Étape 4 : Supprimer les logarithmes népériens et résoudre :
$$ \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} = 8 \Rightarrow (x + 3)^2 = 8(x + 1) $$
$$ x^2 + 6x + 9 = 8x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 $$

Étape 5 : Factoriser l'équation quadratique :
$$ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 $$

Étape 6 : Vérifier par rapport au domaine de définition.
$x = 1$ est supérieur à $-1$, la solution est donc valide.
Réponse finale : $x = 1$

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition.
Depuis $\log_2(x)$, $x > 0$.
Depuis $\log_2(x^2)$, $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
L'intersection est $x > 0$. Le domaine est $(0, \infty)$.

Étape 2 : Utiliser la règle de la puissance pour simplifier le second terme :
$$ (\log_2(x))^2 - 2 \log_2(x) = 8 $$

Étape 3 : Utiliser la substitution. Soit $u = \log_2(x)$ :
$$ u^2 - 2u - 8 = 0 $$

Étape 4 : Résoudre pour $u$ par factorisation :
$$ (u - 4)(u + 2) = 0 \Rightarrow u = 4 \text{ ou } u = -2 $$

Étape 5 : Substituer de nouveau pour résoudre pour $x$ :
$$ \log_2(x) = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 $$
$$ \log_2(x) = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} $$

Étape 6 : Vérifier par rapport au domaine de définition.
$16$ et $\dfrac{1}{4}$ sont tous deux strictement supérieurs à $0$.
Réponse finale : $x = 16$ et $x = \dfrac{1}{4}$

Étape 1 : Déterminer le domaine de définition.
Pour le logarithme interne : $x > 0$.
Pour le logarithme externe : $\log(x) > 0 \Rightarrow x > 1$.
L'intersection est $x > 1$. Le domaine est $(1, \infty)$.

Étape 2 : Diviser les deux côtés par $10$ :
$$ \log(\log(x)) = 0,1 $$

Étape 3 : Convertir le logarithme externe sous forme exponentielle (base 10) :
$$ \log(x) = 10^{0,1} $$

Étape 4 : Convertir le logarithme interne sous forme exponentielle :
$$ x = 10^{\left(10^{0,1}\right)} \approx 10^{1,2589} \approx 18,15 $$

Étape 5 : Vérifier par rapport au domaine de définition.
$18,15 > 1$, la solution est donc valide.
Réponse finale : $x = 10^{\left(10^{0,1}\right)}$