Trouver le plus petit commun multiple (PPCM) en mathématiques
Questions de 7e année avec solutions détaillées

Questions pratiques

1. Question : Trouvez le plus petit commun multiple de 5 et 15.
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   Les décompositions en facteurs premiers de 5 et 15 sont :

   \( 5 = 5^1 \)

   \( 15 = 3^1 \times 5^1 \)

   Le PPCM est donné par le produit de tous les nombres premiers de la décomposition avec la puissance la plus élevée :

   PPCM = \( 3^1 \times 5^1 = \mathbf{15} \).

2. Question : Trouvez le plus petit commun multiple de 8, 12 et 18.
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   Trouvez les décompositions en facteurs premiers de 8, 12 et 18 :

   \( 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)

   \( 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \)

   \( 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^2 \)

   Prenez la puissance la plus élevée de chaque facteur premier (2 et 3) :

   PPCM = \( 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9 = \mathbf{72} \).

3. Question : Trouvez le plus petit commun multiple de 70 et 90.
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   Trouvez les décompositions en facteurs premiers de 70 et 90 :

   \( 70 = 2^1 \times 5^1 \times 7^1 \)

   \( 90 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \)

   Prenez la puissance la plus élevée de chaque facteur premier (2, 3, 5 et 7) :

   PPCM = \( 2^1 \times 3^2 \times 5^1 \times 7^1 = 2 \times 9 \times 5 \times 7 = \mathbf{630} \).

4. Question : Quel est le plus petit commun multiple de 180, 216 et 450 ?
   Voir la solution étape par étape ▼

   Trouvez les décompositions en facteurs premiers :

   \( 180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)

   \( 216 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^3 \times 3^3 \)

   \( 450 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2 \)

   Prenez la puissance la plus élevée de chaque facteur premier (2, 3 et 5) :

   PPCM = \( 2^3 \times 3^3 \times 5^2 = 8 \times 27 \times 25 = \mathbf{5400} \).

5. Question : Pour les paires de nombres suivantes, trouvez le PPCM et le plus grand commun diviseur (PGCD). Ensuite, comparez le produit du PPCM et du PGCD au produit des nombres originaux.
   a) 12 et 16
   b) 30 et 45
   c) 60 et 160
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   Partie a) 12 et 16

   • Décomposition en facteurs premiers : \( 12 = 2^2 \times 3 \),   \( 16 = 2^4 \)
   • PGCD = \( 2^2 = 4 \)
   • PPCM = \( 2^4 \times 3 = 48 \)
   • Produit du PPCM et du PGCD : \( 48 \times 4 = \mathbf{192} \)
   • Produit des nombres : \( 12 \times 16 = \mathbf{192} \)

   Les deux produits sont égaux.

   Partie b) 30 et 45

   • Décomposition en facteurs premiers : \( 30 = 2 \times 3 \times 5 \),   \( 45 = 3^2 \times 5 \)
   • PGCD = \( 3 \times 5 = 15 \)
   • PPCM = \( 2 \times 3^2 \times 5 = 90 \)
   • Produit du PPCM et du PGCD : \( 90 \times 15 = \mathbf{1350} \)
   • Produit des nombres : \( 30 \times 45 = \mathbf{1350} \)

   Les deux produits sont égaux.

   Partie c) 60 et 160

   • Décomposition en facteurs premiers : \( 60 = 2^2 \times 3 \times 5 \),   \( 160 = 2^5 \times 5 \)
   • PGCD = \( 2^2 \times 5 = 20 \)
   • PPCM = \( 2^5 \times 3 \times 5 = 480 \)
   • Produit du PPCM et du PGCD : \( 480 \times 20 = \mathbf{9600} \)
   • Produit des nombres : \( 60 \times 160 = \mathbf{9600} \)

   Les deux produits sont égaux.

   Conclusion : Il est toujours vrai que pour deux nombres entiers \( M \) et \( N \), la relation est :
   \( \text{PGCD} \times \text{PPCM} = M \times N \)

Références et liens supplémentaires

• Mathématiques au collège (6e, 5e, 4e, 3e) - Questions et problèmes gratuits avec réponses
• Mathématiques au lycée (2nde, 1ère, Terminale) - Questions et problèmes gratuits avec réponses
• Mathématiques à l'école primaire (CM1 et CM2) avec questions et problèmes gratuits avec réponses