Décomposition en facteurs premiers en mathématiques
Questions de 7e année avec solutions détaillées

Questions pratiques

1. Laquelle des expressions suivantes N'EST PAS une décomposition en facteurs premiers ?
   1. $20 = 2 \times 10$
   2. $14 = 2 \times 7$
   3. $64 = 4^3$
   4. $120 = 2^3 \times 15$
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   Réponses : a, c et d ne sont PAS des décompositions en facteurs premiers.

   La décomposition en facteurs premiers ne doit comporter que des nombres premiers.

   • a) $20 = 2 \times 10$ : Le nombre $10$ est composé, non premier.
   • c) $64 = 4^3$ : Le nombre de base $4$ est composé. (La décomposition en facteurs premiers correcte est $2^6$).
   • d) $120 = 2^3 \times 15$ : Le nombre $15$ est composé. (La décomposition en facteurs premiers correcte est $2^3 \times 3 \times 5$).
2. Quelle est la décomposition en facteurs premiers des nombres suivants ?
   1. $28$
   2. $32$
   3. $100$
   4. $126$
   5. $900$
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   Divisez chaque nombre successivement par des nombres premiers jusqu'à ce que le quotient final soit premier :

   1. $28 = 2 \times 2 \times 7 = \mathbf{2^2 \times 7}$
   2. $32 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = \mathbf{2^5}$
   3. $100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = \mathbf{2^2 \times 5^2}$
   4. $126 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = \mathbf{2 \times 3^2 \times 7}$
   5. $900 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 \times 5 = \mathbf{2^2 \times 3^2 \times 5^2}$
3. Deux nombres, A et B, sont donnés par :
   $A = 2^3 \times 5^2 \times 11$ et $B = 2^2 \times 5 \times 13$.
   Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $A \times B$ ?
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   Multipliez les deux décompositions en facteurs premiers ensemble :

   $A \times B = (2^3 \times 5^2 \times 11) \times (2^2 \times 5 \times 13)$

   Regroupez les bases qui sont identiques et additionnez leurs exposants :

   $A \times B = (2^3 \times 2^2) \times (5^2 \times 5^1) \times 11 \times 13$

   $A \times B = \mathbf{2^5 \times 5^3 \times 11 \times 13}$

4. Trouvez la décomposition en facteurs premiers de $100$ et $70$. Ensuite, utilisez ces résultats pour trouver la décomposition en facteurs premiers de $7000$, sachant que $7000 = 100 \times 70$.
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   Tout d'abord, trouvez les décompositions en facteurs premiers individuelles :

   $100 = 2^2 \times 5^2$

   $70 = 2 \times 5 \times 7$

   Utilisez le fait que $7000 = 100 \times 70$ pour combiner les facteurs :

   $7000 = (2^2 \times 5^2) \times (2^1 \times 5^1 \times 7^1)$

   Combinez les bases identiques en additionnant les exposants :

   $7000 = \mathbf{2^3 \times 5^3 \times 7}$

5. Découvrir des modèles dans les puissances de 10 :
   1. Trouvez la décomposition en facteurs premiers de $10$.
   2. Utilisez le résultat de la partie (a) et le fait que $100 = 10 \times 10$ pour trouver la décomposition en facteurs premiers de $100$.
   3. Utilisez le résultat de la partie (a) et le fait que $1000 = 10 \times 10 \times 10$ pour trouver la décomposition en facteurs premiers de $1000$.
   4. Utilisez les résultats ci-dessus pour identifier un modèle et trouver la décomposition en facteurs premiers de $1 000 000$.
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   1. $10 = \mathbf{2 \times 5}$
   2. $100 = 10 \times 10 = 10^2 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) = \mathbf{2^2 \times 5^2}$
   3. $1000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3 = (2 \times 5) \times (2 \times 5) \times (2 \times 5) = \mathbf{2^3 \times 5^3}$
   4. En suivant le modèle établi ci-dessus, $10^n = 2^n \times 5^n$. Par conséquent, pour un million :
      $1 000 000 = 10^6 = (2 \times 5)^6 = \mathbf{2^6 \times 5^6}$

Références et liens supplémentaires

• Mathématiques au collège (6e, 5e, 4e, 3e) - Questions et problèmes gratuits avec réponses
• Mathématiques au lycée (2nde, 1ère, Terminale) - Questions et problèmes gratuits avec réponses
• Mathématiques à l'école primaire (CM1 et CM2) avec questions et problèmes gratuits avec réponses